Spezielle algebraische und transscendente ebene kurven. Theorie und Geschichte. Autorisierte, nach dem italienischen Manuskript bearbeitete deutsche Ausgabe, von Fritz Schütte. Mit 174 Figuren auf 17 lithographierten Tafeln.

Achtes Kapitel: Einige Fufspunktkurven 4. 0. der dreispitz. Hypocykloide. 155
die von der vierten Ordnung sind, möge dies beweisen. Wir schicken
zunächst folgende Bemerkung voraus: Wenn auf der Peripherie eines
Kreises (mit dem Centrum 0 und dem Radius r) ein Punkt D gegeben ist (Taf. IV, Fig. 30), und man nimmt nach entgegengesetzten
Richtungen von D aus zwei Bogen derart, dafs arcD S = 2 arc DS',
so ist die Enveloppe aller Geraden SS' eine dreispitzige Hypocykloide. - Setzen wir arc DS = a, so hat die Gerade SS', wenn
O der Anfang, OD die x-Axe ist, die Gleichung
c. ac 3 a
x cos - + y sin = r cos 2 '..... (1)
Da nun diese dieselbe Gestalt hat, wie (15) des vorigen Kapitels, so
ist die Richtigkeit des ausgesprochenen Satzes evident.
Wenn man nun die Sehne SS' nach beiden Seiten verlängert,
derart, dafs ST= S'T' = SS', so ist der Ort der Punkte T' die
dreispitzige Hypocykloide, jedoch der Ort der Punkte T eine neue
Kurve, deren analytische Darstellung man folgendermafsen erhält:
Sei H (s. dieselbe Figur) der Mittelpunkt der Sehne SS'; da man
nun von dem Punkte 0 nach T, sowohl auf dem geradlinigen Wege
OT als auch auf dem gebrochenen OHT gehen kann, so hat man,
indem man auf die Axen projiziert:
x — OHecos "-2- HT OH sin 2 - + T cos 2
X=~OBcos -RZTsin^, y-=-fsin+I-Tcos-|-;
nun ist OH= — r cos 3 TH = 3r sin -, daher
x -r cos cos - 3 sin - sin
2 2 2 2 9
3a. c. 3a cc
y =r cos 2 sin 2 - 3 sin- cos -
oder einfacher
x = r (2 cos 2a - cos a), y= r (2 sisin a).. (2)
Setzt man tg- = t, so erhält man für x und y rationale gebrochene
Ausdrücke vierter Ordnung, welche zu dem Schlusse berechtigen, dafs
die Kurve, um die es sich handelt, eine Kurve vierter Ordnung mit
drei Knoten und drei einen Winkel von 1200 mit einander bildenden
Symmetrieaxen ist. Wiewohl diese Kurve Stoff zu vielerlei Untersuchungen gegeben hat1), so wollen wir uns hier doch nicht mit einer
weiteren Untersuchung derselben aufhalten.
Wir gehen vielmehr zur Betrachtung der Fufspunktkurve einer
dreispitzigen Hypocykloide in Bezug auf einen Punkt des einbeschriebenen Kreises über. Sie ist eine Kurve, die den von G. de Long1) Angegeben in der Abhandlung von Brocard, Le trifolizu (Journ. de
math. spec., 1891) S. 17 des Auszuges.