Spezielle algebraische und transscendente ebene kurven. Theorie und Geschichte. Autorisierte, nach dem italienischen Manuskript bearbeitete deutsche Ausgabe, von Fritz Schütte. Mit 174 Figuren auf 17 lithographierten Tafeln.

152 III. Abschnitt: Kurven vierter Ordnung.
beachten wir die Gestalt dieser Gleichung und merken uns, dafs sie
durch die Werte
x = - a cos v, y - a sinr
befriedigt wird, so schliefsen wir: Die Tangenten in zwei beliebigen
associierten Punkten sind zu einander senkrecht und schneiden sich
in einem Punkte des dreifach beriihrenden Kreises, der dem Mittelpunkte der von jenem Punkte begrenzten Strecke diametral gegenüber liegt.
Da die hier untersuchte Kurve dritter Klasse ist - vgl. G1. (16)so gehen durch jeden Punkt (x, y) der Ebene drei ihrer Tangenten;
die entsprechenden Werte des Parameters r sind die Wurzeln vl, r, tr3
per Gleichung (15); wir haben daher als Gleichung jener Tangenten
r r '. 3vr
x sin 2 - y cos -- a sin - (k= 1,2,3).
Durch Elimination von x und y findet man folgende Beziehung für
die Parameter dreier Kurvenpunkte, deren Tangenten durch denselben
Punkt gehen:
* 1 sinn.
vi Ti. 3 T1 1
sin- cos sin - sin c s in -
sin t 2 c si 2 =0, oder sin2 cos2 sin3 2 2 0.
sin- cos- 2 2 2
3 n 3
* V: % oder sin- cos- si
sin-3 O - s - si cos - sinn --
Setzen wir nun zur Abkürzung
k e,' (k== 1,2,3).
so wird diese Gleichung:
t 2 t 13 t22 e2 23 1 - 0 oder e1 23 - 1
fe 2t, tes es,- i3 -1
j t32 $3 t3 -- x
Setzen wir nun wieder für die t ihre Werte ein, so finden wir
ei(-+ +=l, ) =1 1
und daher 1 + r2 + -3 = 2 r.
Wir sehen also: Die Summe der Parameter derjenigen drei Punkte
der Kurve, deren entsprechende Tangenten in einen Punkt zusammenlaufen, ist gleich vier Rechten.
Aus der Gleichung (15), welche die Tangente darstellt, ergiebt
sich die Gleichung der Normalen als
x cosy -y sin- = 3a cos.. (17)