Spezielle algebraische und transscendente ebene kurven. Theorie und Geschichte. Autorisierte, nach dem italienischen Manuskript bearbeitete deutsche Ausgabe, von Fritz Schütte. Mit 174 Figuren auf 17 lithographierten Tafeln.

134 III. Abschnitt: Kurven vierter Ordnung.
Sechstes Kapitel.
Verallgemeinerungen der Konchoide, insbesondere die Konchoide
mrit der Kreisbasis.
69. Der Begriff der Konchoide, wie er von Nikomedes aufgestellt wurde, bietet sich verschiedenen Verallgemeinerungen dar.
Eine der allerneuesten ist folgende: "Gegeben ein Winkel mit dem
Scheitel 0 und der Gröfse 2a und ein fester Punkt A seiner Ebene,
sei C der Mittelpunkt eines der Kreise, die beide Schenkel des Winkels
berühren, und M der Endpunkt eines durch A gehenden Durchmessers, dann ist der Ort der Punkte 1 die betreffende Kurve.
Wenn 0 im Unendlichen liegt, wird sie eine Konchoide des Nikomedes
mit A als Pol und der Mittellinie des Streifens (der die Stelle des
Winkels im allgemeinen Falle einnimmt) als Basis und mit der halben
Breite desselben als Zwischenstück."
Nehmen wir im allgemeinen Falle die Halbierungslinien des gegegebenen Winkels als Axen, so findet man leicht als Gleichung des
Ortes (wenn xo und yo die Koordinaten von A sind)
y2 [( X - x0)2 - (-yo)2] = sin (xyo - o)2.. (1)
Dieser ist also eine Kurve vierter Ordnung, die noch eine andere
Erzeugungsart besitzt, die ein bemerkenswerter Umstand klar legen
wird: Es sei nämlich ein Kreis gegeben, mit dem Centrum C und
dem Radius r, und zwei Punkte A und 0 seiner Ebene; man verbinde einen beliebigen Punkt P des Kreises mit C und 0, dann wird
die Gerade OP von der durch A zum Radius CP gezogenen Parallelen
in einem Punkte ]M geschnitten; um nun die Gleichung des Ortes
der Punkte M/ zu finden, nehme man 0 zum Anfangspunkt und OC
zur x-Axe, bezeichne mit a den Abstand OC und mit x0, yo die Koordinaten von A, so wird man folgende Beziehung zwischen den
Koordinaten x und y von M erhalten:
y _[(x - X)2 + (y - y)2] (= ) (yox- x0y)2.. (2)
welche dieselbe Form hat wie Gleichung (1) und mit ihr identifiziert
werden kann, allemal wenn der Punkt 0 nicht innerhalb des gegebenen
Kreises liegt. Im Grenzfalle, wenn r a, scheidet sich aus (2) der
Faktor y - yo ab; nach Hebung desselben bleibt:
y(x2 + y2) + Xo2 - 2XoXy - yoy2 = 0,
die Gleichung einer Strophoide (s. Nr. 37), woraus sich ergiebt, dafs
die Kurve, um die es sich hier handelt, auch als Verallgemeinerung
dieser Linie angesehen werden kann.
1) S. Jerabek, Sur une quartique (Mathesis 2. Ser. IX, 1899).