Spezielle algebraische und transscendente ebene kurven. Theorie und Geschichte. Autorisierte, nach dem italienischen Manuskript bearbeitete deutsche Ausgabe, von Fritz Schütte. Mit 174 Figuren auf 17 lithographierten Tafeln.

Viertes Kapitel: Die spirischen Linien des Perseus. 123
Vertauschen wir in dieser L und N bezw. mit L - N und- 1V, so
erhalten wir die Gleichung, welche als Wurzeln die Ordinaten der
vier anderen Stützpunkte enthält; diese lautet:
f- Cf2 +- M=..... (13)
Eine der Wurzeln e2 von (12) ist reell und positiv, da sie das
Quadrat der halben Strecke AB ist, die von den Punkten A und B
begrenzt wird, von denen wir ausgegangen sind; die andere ist daher
immer reell, aber positiv oder negativ, jenachdem 11 0. Demnach
sind die beiden Stützpunkte A' und B' reell oder konjugiert imaginär, jenachdem -]= (= - -(1 - ) e4 > 0 ist, d. h. jenachdem m und n
beide gröfser, oder beide kleiner als 1 sind, oder das eine gröfser
und das andere kleiner ist. Da nun (12) in (13) übergeht, wenn
man e2 durch - f2 ersetzt, so entsprechen den beiden reellen Stützpunkten A, B immer zwei konjugiert imaginäre. Was nun die beiden
letzten C',D' angeht, so sind diese imaginär oder reell, jenachdem
M O 0. Hieraus ergiebt sich, dafs auf Grund der Realität der Stützpunkte alle durch die Gleichung dargestellten Kurven sich in zwei
Kategorien scheiden:
Kurven I. Art, 1 > 0; vier reelle Stützpunkte in einer geraden
Linie und zwei Paare konjugiert imaginäre
auf der anderen.
" II. ", 1 < 0; vier reelle Stützpunkte, zwei auf einer Geraden und zwei auf einer anderen; und
analog vier imaginäre zu Paaren konjugiert.
Eine dritte Art ist dadurch charakterisiert, dafs M =- 0, und dafs sie
in der Mitte einen Doppelpunkt besitzen.
64. Auf die Kurven, mit denen wir uns hier beschäftigen, trifft
man bei geometrischen Fragen, die nicht ohne Wichtigkeit sind.
Folgendes Beispiel möge dies zeigen1): Gegeben ein centrischer Kegelschnitt a + (14),x + q- t = 1;....... (14)
man betrachte den Ort eines Punktes, so beschaffen, dafs die von
ihm an die Kurve r gezogenen Tangenten einen gegebenen Winkel
R bilden; dieser wird die isoptische Kurve des gegebenen Kegelschnittes vom Winkel / genannt. Um deren Gleichung zu finden,
beachte man, dafs die an r vom Punkte (x', y') gezogenen Tangenten
zusammen durch die Gleichung:
(xy'- x'y)2 - (- x') - ( - y') =
1) S. den zweiten Teil der angeführten Arbeit von Siebeck.