Spezielle algebraische und transscendente ebene kurven. Theorie und Geschichte. Autorisierte, nach dem italienischen Manuskript bearbeitete deutsche Ausgabe, von Fritz Schütte. Mit 174 Figuren auf 17 lithographierten Tafeln.

120 III. Abschnitt: Kurven vierter Ordnung.
Wendepunkte; dafs diese den Alten nicht entgangen ist, wird von
Proklus bezeugt; sie jedoch auseinander zu setzen mangelt es uns an
Raum 1).
62. Die Definition der spirischen Linien, von der wir ausgegangen
sind, liefert nur eine stereometrische Erzeugung derselben. R. de Sluse
hat vor zwei Jahrhunderten2) eine solche angegeben, die den Vorzug
besitzt., nur Konstruktionen in einer Ebene zu benutzen und daher
wohl verdient angeführt zu werden: "Es sei DBE eine gleichseitige
Hyperbel (s. Taf. III, Fig. 25) mit den Axen SQ2 und MQi, HCI und
DE seien zwei fest angenommene Parallelen zur Queraxe QiS; eine
variabele Parallele zur andern Axe schneide jene beiden Parallelen und
die Kurve bezw. in i, F, G; man nehme auf dieser zwei Punkte I
symmetrisch in Bezug auf H und so, dafs FG GH - J2 H; der Ort
der Punkte I ist eine spirische Linie." Zum Beweise nehmen wir
an, dafs 2 2J 2 a =
^ - _ — 2 /? =, ~ -- a, = -
die Gleichungen der Hyperbel und der beiden festen Parallelen seien.
Nennen wir die Koordinaten von I x', y' und die von G t, V, so
haben wir offenbar: y'=- -, HI= x'- a, FG= b-, G -H=,-a,
und daher wegen der Bedingung der Konstruktion
(- a) = (b - -- ).
Die Gleichung des Ortes von I erhält man durch Elimination von
e und N aus dieser Gleichung und den beiden y' = 2 - 2 2,
und diese ist daher
[(' - a)2 + y'2 + 72 + ab]2 - (a +- b)2 (y" + k) = 0.
Setzt man nun
x-a =y, y'=x, k2+ab p2+ 2-+ l 2 - R b d 7=
2 ~
so identifiziert sich diese Gleichung mit (3). Somit ist der Sluse'sche Satz
bewiesen; zu gleicher Zeit sieht man, dafs die zugehörige Kurve aus
dem Kreisringe entsteht, für welchen 1 — a — d = -b ist, wenn
er durch eine Ebene im Abstande k von der Axe des Ringes geschnitten wird.
1) Der Leser findet weitere Details in der Abhandlung von Pagani im
V. B. der Miem. cour. par I'Acadenie de Belgique, die folgendes Thema, das als
Preisfrage von der Akademie im Jahre 1824 gestellt war, beantwortete:,On sait,.que les lignes spiriques ou sections annulaires sont des courbes formees par
lintersection d'un plan avec la surface engendree par la circonvolution d'un
cercle autour d'un axe donne de position; on demande l'equation generale de
ces courbes et une discussion complete de cette equation."
2) S. zwei Briefe an Huygens datiert vom 4. Sept. und 19. Okt. 1657, abgedruckt im B. II der Oewvries de tHuygens (Hag 1889) S. 52 und 69.