Spezielle algebraische und transscendente ebene kurven. Theorie und Geschichte. Autorisierte, nach dem italienischen Manuskript bearbeitete deutsche Ausgabe, von Fritz Schütte. Mit 174 Figuren auf 17 lithographierten Tafeln.

110 III. Abschnitt: Kurven vierter Ordnung.
eines Büschels von Kegelschnitten ansehen, welches auf der Kurve
vierter Ordnung eine lineare Reihe von unendlich vielen Punktepaaren
ausschneidet, die auf oo Geraden liegen, die einen Kegelschnitt einhüllen. Wenn z. B. das Büschel durch die Gleichung
x1(a 1x1 + aXx2 + a3X33) + A2x23 =
dargestellt wird, so hat der eingehüllte Kegelschnitt die Gleichung:
(a11 - + a2 2 + a3 X) (e1 x + 1- c2 + x C3x) - (bl X + b2 X2 + b3 X3)2 = 0.
Man gelangt so zu Ausdrücken für x1, x2 x3 in rationalen Funktionen
eines Parameters und Quadrat-Wurzeln einer biquadratischen Funktion
desselben; führt man nun an Stelle dieses Parameters eine geeignete
elliptische Funktion eines neuen Parameters v ein, so gelangt man
zu Formeln von folgendem Typus:
i= C,[snI(v - )-,21s siv + t 6 -s 62ö3
QX 2 C+ [S, (V + 2 ) -- S+z ] [Sn (V -) -s2(E )](
QX3=C3[Sn 2(V- +2 ) - sZ2][I s(v + 2 - Sn2( 2 + )
Die beiden Parameter des Doppelpunktes x, = x. =0 sind a + -6s
die des anderen - + 3. Zwischen den Parametern vv,,....
der Punkte, in denen die Kurve vierter Ordnung von einer Kurve
nter Ordnung geschnitten wird, besteht eine lineare Kongruenz, die,
jenachdem die schneidende Kurve nicht durch einen Doppelpunkt geht
oder einen oder beide Doppelpunkte enthält, verschiedene Form annimmt; entsprechend diesen drei Fällen haben wir folgende Kongruenzen (wo K und K' die gewöhnliche Bedeutung haben):
V1+V2+ — V4m-4+4-4m-3+V4m-2+V4mn-l+V4m- 0 (3)
_modd.
/l2- ' '4n4q-4^3 +f-4 2 — +~ (t +- ) V2/ 2~Kt (t4)
v1+ v2+. V44 0.. v (5)
Zeigen wir an einigen Beispielen, wie leicht man mit deren Hilfe
Eigenschaften der Kurve auffindet. Ist (v) ein Punkt, dessen entsprechende Tangente durch einen Doppelpunkt geht, so hat man
2vE + ( + 6),
daher hat man für v die folgenden beiden Quadrupel von inkongruenten Werten
2 ' 2 + t 2 + ' 2 + s + iK.
_ - t + [_t- + K, - + —iK, ---+/+.
2'~ ~ ~~~~~ ~ 2-'-'iK2