Spezielle algebraische und transscendente ebene kurven. Theorie und Geschichte. Autorisierte, nach dem italienischen Manuskript bearbeitete deutsche Ausgabe, von Fritz Schütte. Mit 174 Figuren auf 17 lithographierten Tafeln.

108 III. Abschnitt: Kurven vierter Ordnung.
schnitte entspricht eine Kurve vierter Ordnung, die 1 2 AAA zu
Doppelpunkten hat; unter der Voraussetzung, dafs A1 und A2 dessen
Brennpunkte seien, findet man die angegebenen Eigenschaften der
Kurven E' und H'.
57. Eine Kurve vierter Ordnung ist nicht nur dann rational,
wenn sie drei Doppelpunkte besitzt, sondern auch wenn sie mit einem
dreifachen Punkte versehen ist. Nehmen wir diesen als Ecke A3 des
Fundamentaldreiecks, so nimmt die Gleichung der Kurve folgende
Gestalt an:
X33 3- 4 ==0,...... (12)
wo u3, u4 binäre Formen in x;, x2 sind, die erste kubisch, die zweite
biquadratisch; setzt man darin x- = 2, so gelangt man zu folgender parametrischen Darstellung der Kurve
x1 = Ä1,3 (1,,2), x,2 = 2A (1, 2,), X3 = 4 (it, n 2)' (13)
Wir überlassen es dem Leser, auf diese Gleichung die Betrachtungen
und Berechnungen anzuwenden, die wir oben bei der Gleichung (2)
angegeben haben, und wollen sogleich noch eine in diese Kategorie
gehörende Kurve anführen, nämlich die in kartesischen Koordinaten
durch folgende Gleichung dargestellte:
x2(x2 + y2) = ay(xZ2 - y2). (14)
Der Anfang ist ein dreifacher Punkt und die entsprechenden Tangenten
sind die x-Axe und die Halbierungslinien der Axenwinkel; die Kurve
besteht aus zwei zu einander in Bezug auf die y-Axe symmetrischen
Blättern und einem dritten unendlichen, das symmetrisch in Bezug
auf die Ordinatenaxe und gelegen am unteren Teile der Abscissenaxe.
Diese Eigenschaften rechtfertigen den Namen parabolisches Trifolium, den man der Kurve gegeben hat1). Sie geht durch die
unendlich-fernen imaginären Kreispunkte, hat als aufserordentlichen
Brennpunkt den Punkt (0, a), als Doppeltangente die Gerade
y -= a (3 - e), u. s.w.
1) G. de Longchamps, Journ. de Math. spec. 1888, S. 255 u. 285.