Spezielle algebraische und transscendente ebene kurven. Theorie und Geschichte. Autorisierte, nach dem italienischen Manuskript bearbeitete deutsche Ausgabe, von Fritz Schütte. Mit 174 Figuren auf 17 lithographierten Tafeln.

106 II1. Abschnitt: Kurven vierter Ordnung.
i=3
Z aiki E= (k -0, 1, 2, 3, 4)..... (7)
i-=1
setzt, die Gleichung (3) wird zu
o- +. +.3 +~ 0...... (3')
Berechnet man nun die quadratische und kubische Invariante der
linken Seite dieser, als biquadratische Funktion von ZA betrachteten,
Gleichung, so erhält man die beiden Gleichungen
12 o 3 a 2 ~2
12 occ xa - 3 cx g3 4+ a22 == 3; 3 cx, 2 2 ^3 ~3 = O.. (8)
2,s3 3%a 12,4
Erinnert man sich der geometrischen Bedeutung dieser Invarianten
und beachtet, dafs von den Gleichungen (8) die erste quadratiseh und
die zweite kubisch in den Koordinaten S ist, so sieht man: die erste
stellt einen Kegelschnitt dar, der von den Geraden umhüllt wird, welche
die Kurve vierter Ordnung in einem Quadrupel äquianharmonischer
Punkte schneiden, während die zweite der Gleichungen (8) eine Kurve
dritter Ordnung darstellt, umhüllt von den Geraden, die dieselbe
Kurve in Quadrupeln harmonischer Punkte schneiden').
56. Sehr viele Fragen der Geometrie führen, wie wir im Verlaufe dieses Abschnittes sehen werden, zu Kurven vierter Ordnung mit
3 Doppelpunkten2). Wir erachten es aber für geeignet an dieser
Stelle auf eine hinzuweisen, die sich in der Theorie der Kegelschnitte
findet3).
Jeder Punkt M der Ellipse E
a + b2.(9)
1) W. Stahl, Über rationale ebene Kzurven vierter Ordnung (Crelles Journ.
CI, 1887). Viele andere Eigenschaften der in Rede stehenden Kurven finden sich
in der Inaugural-Dissertation von W. Bretschneider, Über Curven vierter Ordnung mit drei Doppelpunkten (Erlangen 1875), während zahlreiche bibliographische Angaben in den "Mitteilungen des math.-naturw. Vereins in Würtemberg"
2. Reihe, I, 1899, S. 24 u. 55 gesammelt sind.
2) Die Mechanik fihrt häufig auch zu Kurven dieser Art. Ein Beispiel davon
ist z. B. die sogenannte Seiltänzerkurve; sie ist der Ort der Füfse eines Menschen der auf einem Seile geht, von dessen Enden eines befestigt ist, während
das andere Ende mit einem Gewichte beschwert ist, nachdem es um eine Rolle
geschlungen ist. J. B. Berard (Opuscules mathematiques, 1811) fand als Gleichung derselben folgende x2(b-)2
Y a-(l- x)2_;
sie zeigt, dafs sie als Doppelpunkte den Anfangspunkt, den unendlich fernen
von Oy und den Punkt x=- b, y = hat.
3) K öttgen, Die geometrischen Örter der ausgezeichneten Punkte des Ellipsenund Hyperbeldreiecks (Progr. Duisburg, 1852); Hochheim, Über geometrische
Örter der merkwürdigen Punkte des Dreiecks (Zeitschrift XV, 1870).