Spezielle algebraische und transscendente ebene kurven. Theorie und Geschichte. Autorisierte, nach dem italienischen Manuskript bearbeitete deutsche Ausgabe, von Fritz Schütte. Mit 174 Figuren auf 17 lithographierten Tafeln.

96 III. Abschnitt: Kurven vierter Ordnung.
Eine Frage über die Kurven vierter Ordnung, die alsbald aufgeworfen und in verschiedener Weise gelöst wurde, ist die nach ihrer
Klassifikation. Obwohl sich diese als ein kompliziertes Problem
von mühevoller Lösung herausstellte, so war sie doch schon von der
ersten Hälfte des 18. Jahrhunderts an Gegenstand der Untersuchung
seitens mehrerer Geometer, an deren Spitze wir den Abt Bragelogne
finden. Dieser setzte in zwei langen Abhandlungen ) eine Methode
auseinander, die Bestimmung der verschiedenen Typen auszuführen,
unter welche die Kurven vierter Ordnung gruppiert werden können,
eine Methode, die in letztem Grunde darin bestand, die allgemeine
Gleichung vierten Grades in rechtwinkligen Punktkoordinaten auf gewisse kanonische Formen zurückzuführen. Aber das grofse Werk, in
welchem die genannten Ideen ausführlich entwickelt werden sollten,
hat niemals das Licht erblickt.
Nach dem Tode Bragelognes wurde das Problem, dem er so grofse
Mühen geopfert hatte, gleichzeitig von zwei sehr berühmten Geometern
wieder aufgenommen: L. Euler2) und G. Cramer3); vom ersteren ohne
die Bemühungen des französischen Abtes zu kennen, während der andere
sie ausdrücklich citiert. Die von den beiden Mathematikern vorgeschlagenen Einteilungen stimmen in der Annahme des Hauptkriteriums
der Klassifikation überein, nämlich des Verhaltens der Kurve im Unendlichen. Hiernach lassen sich alle reellen Kurven vierter Ordnung
in neun Klassen einteilen4), die durch die folgenden Anordnungen
der Gruppe ihrer vier unendlich fernen Punkte charakterisiert sind:
1) Vier imaginäre und zu je zweien konjugierte Punkte; 2) zwei
reelle verschiedene und zwei konjugiert imaginäre Punkte; 3) vier
reelle und verschiedene Punkte; 4) zwei konjugiert imaginäre und
zwei reelle zusammenfallende; 5) zwei reelle verschiedene und zwei
reelle zusammenfallende; 6) zwei reelle Doppelpunkte; 7) zwei konjugiert imaginäre Doppelpunkte; 8) ein einfacher und ein dreifacher
Punkt; 9) ein vierfacher Punkt. - Jede dieser Klassen umfafst
mehrere Arten; Euler und Cramer haben eine beträchtliche Zahl derselben angegeben, indem sie sich damit begnügten, vielmehr nur die
Möglichkeit zu vermerken, als die thatsächliche Existenz der entsprechenden Kurven nachzuweisen. Diese unabweisbare Ergänzung
1) Examen des lignes du quatrieme ordre ou courbes du troisieme genre
(Mem. de l'Ac. des Sciences, Paris 1730). S. auch die Bemerkung Sur les lignes
du quatrieme ordre (Das.).
2) Introductio in analysin infinitorum II. (Lausanne 1748) S. 139-49.
3) Introduction ä l'analyse des lignes courbes algebriiques (Genf, 1750)
S. 369-99.
4) In der That teilt man sie gewöhnlich nur in acht Klassen ein, aber
es scheint uns doch, dais man die oben mit 6) und 7) bezeichneten aus einander
halten mufs.