Spezielle algebraische und transscendente ebene kurven. Theorie und Geschichte. Autorisierte, nach dem italienischen Manuskript bearbeitete deutsche Ausgabe, von Fritz Schütte. Mit 174 Figuren auf 17 lithographierten Tafeln.

Erstes Kapitel: Allgemeines. Klassifikation. 95
Wenn f =-,aail, XiX hxk= = b4= 0. (1)
ijhk
die linke Seite der Gleichung einer allgemeinen Kurve vierter Ordnung
ist, in der wirklichen und in der symbolischen Form, und man setzt
I = (a6b )4 J = (bc)2 (ca )2 (ab)2.. (2)
so stellen die beiden Gleichungen -= 0, J= 0 zwei kontravariante
Kurven dar, die erste von der vierten, die zweite von der sechsten
Klasse; das Ibertragungsprinzip von Clebsch führt alsbald zu dem
Schlusse, dafs jene umhüllt werden von den Geraden, die die Kurve
in vier äquianharmonischen resp. harmonischen Punkten schneiden.
Die Gleichung 13 - 61 2 = O
ist dann nichts anderes als die Tangentialgleichung der Kurve, und
diese ist daher von der zwölften Klasse, wie es auch die Plücker'schen
Formeln erfordern. - Die Funktion
S=(b cd) (acd)(abd) (abc) axbxcxd. (3)
gleich 0 gesetzt stellt hingegen eine zur gegebenen kovariante Kurve
vierter Ordnung und gleichfalls allgemeine Kurve dar. Bekannt ist
auch1), dafs, während jeder Kurve vierter Ordnung, f= 0 eine zweite
S = 0 entspricht, umgekehrt die linke Seite der Gleichung jeder
Kurve vierter Ordnung angesehen werden kann als Kovariante S
von 36 bestimmten ternären biquadratischen Formen. - Eine andere
Kovariante (sie ist von der sechsten Ordnung) erhält man durch Betrachtung der Hesseschen von f; hingegen ist eine Kontravariante
(von der achtzehnten Klasse) durch die linke Seite der Gleichung der
Cayley'schen Kurve gegeben; nun hat diese Kurve hat 21 vierfache
Tangenten, die alle tangentiellen Singularitäten der Kurve in sich
schliefsen2). Unter den Invarianten verdient, aufser der Diskriminante
folgende besonders vermerkt zu werden:
a1111 a 1112 1 122 a113 1123 1133
a211 a1212 1222 a1213 1223 1233
= 2211 a2212 a2222 t213 a2223 2233 (4)
a3 a a312 a13 1313 1323 a1333
a2311 a2312 2322 a2313 2323 a2333
a3311 a3312 3322 a3313 a3323 a3333
deren geometrische Bedeutung wir alsbald (Nr. 53) ersehen werden.
1) G. Scorz a, Un nuovo teorema sopra le quartiche piane generali (Math.
Ann. LII, 1899).
2) E. Bertini, Le tangenti multiple della Cayleyna di ulna quartica piana
generale (Atti Torino XXXII, 1896).