Spezielle algebraische und transscendente ebene kurven. Theorie und Geschichte. Autorisierte, nach dem italienischen Manuskript bearbeitete deutsche Ausgabe, von Fritz Schütte. Mit 174 Figuren auf 17 lithographierten Tafeln.

III. Abschnitt.
Kurven vierter Ordnung.
Erstes Kapitel.
Allgemeines. Klassifikation.
52. Die Kurven vierter Ordnung hielten ihren Einzug in die
mathematische Litteratur sozusagen gleichzeitig mit deien dritter
Ordnung, und ungefähr in derselben Weise, nämlich mit dem Auftreten einzelner, in verschiedener Weise spezialisierter Kurven als
deren Repräsentanten. Während jedoch die allgemeine Theorie der
Kurven dritter Ordnung schon mehr als zwei Jahrhunderte Lebenszeit zählt, kann man von der Theorie der Kurven vierter Ordnung
nur sagen, dafs sie erst vor etwa fünfzig Jahren angefangen sei.
Und, während jene einen derartigen Grad der Entwickelung erlangt hat,
dafs man sie als eine der vollendetsten der ganzen Geometrie ansehen
kann, bietet die Theorie der Kurven vierter Ordnung, wenngleich sie
auch manche sehr schöne Kapitel enthält, dennoch beklagenswerte
Lücken. So sind, wenn auch die von Steiner1) und Hesse2) begonnenen und von so vielen berühmten Geometern der späteren Zeit
fortgesetzten Untersuchungen über die 28 Doppeltangenten einer allgemeinen Kurve vierter Ordnung bis in die kleinsten Einzelheiten
die von diesen gebildete Konfiguration zu unserer Kenntnis gebracht haben, dennoch die geometrischen Beziehungen zwischen ihren
24 Wendepunkten in geheimnisvollen Nebel gehüllt; so fehlen uns noch,
wenn sich auch aus der Anwendung der hyperelliptischen Funktionen
vieles Licht über diese Kurven verbreitet, erschöpfende Untersuchungen
über die invarianten Eigenschaften der ternären biquadratischen Formen3). Nichtsdestoweniger sind einige der dahin gehörigen Formeln
seit langer Zeit bekannt und sollen hier wieder erwähnt werden.
1) Eigenschaften der Kurven vierten Grades riicksichtlich ihrer Doppeltangenten (Crelles Journ. XLIX, 1855).
2) Über die Doppeltangenten der Kurven vierten Grades (Daselbst).
3) Clebsch-Lindemann, Vorlesungen über Geometrie I. (Leipzig 1876)
S. 274, Note.