Teoria analitica delle forme geometriche fondamentali. Lezioni date nella Regia università di Torino...

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Per assi ortogonali sarh
Pr ax + by- + c
~ 44. L'angolo di due rette r r' si determina facilmente, quando
sono date le equazioni delle due rette sotto forma normale
xcosa +- ycosp - p = 0, x c os'a + y os -p' = 0.
Scegliendo infatti le direzioni positive sulle r r' in modo che, tirando le normali n n' per l'origine, riesca rn - r'n'; abbiamo
rr' = nn', e quindi rr' = a' - a = -- -', ed anche (~ 30)
cosrr' =sen [cosacosa' + cos cos' - (cosac os' + coso'cosp)cosw]
senrr' (cosa cosB' - cosa' cosB).
senwu
Se le equazioni delle due rette son date nella forma generale,
basta sostituire in queste formole le espressioni di cosa, cosp trovate al ~ 42, e le analoghe di cosa', cosy'; si otterrh cosi per l'angolo delle due rette
r(ax + by + c = 0), r'(a'x + by + c' = 0):
cs, a aa' + bb' - (ab' + a'b)cosw
cosrr --: l/(a2 +- b2 - 2abcosw) (a'2 + b2 - 2a'b'cosw)
s enr, — (ab' a'b) senw
senrr' =
_ l/(a! + b- - 2ab cosw) (a' - +b - 2a'b'cos w)'
e quindi anche,tgrr' (ab' - a'b) senw
tgrr =
aa' - bb' -- (ab' + a'b) cosw
La condizione perche le due rette r r' siano parallele ie senrr' = 0,
ossia
abl - a'b 0;
che non differisce dalla gih trovata (~ 37).
E la condizione perche le due rette r r' siano ortogonali e cosrr' 0,
ossia
aa' + bb' - (ab' - a'b)cosw - 0.