Teoria analitica delle forme geometriche fondamentali. Lezioni date nella Regia università di Torino...

-89 -E bene osservare che
0 a b
a2 + b' - 2a7 cosw - - a 1 cosw
b cosw 1
Distanze, angoli, triangoli.
~ 43. Siano date le coordinate x y di un punto P, e sia data la
equazione normale di una retta r (vale a dire, siano date le tre quantith p a e p del ~ prec.). Cerchiamo la formola che esprime la distanza Pr fra il punto e la retta.
Prendiamo OQ = x, QP -y; e tirato il segmento PM normale a
r, sicehe PMi = Pr, eguagliamo le projezioni normali delle due spezzate OQP, ONMP sulla retta n; avremo
x cosa + y cos = p -+ 0 + MP - p - Pr,
onde -Pr - xcosa + ycosp - p (*).
Se l'equazione della retta b data nella forma generale, basta ridurla a forma norrale; e quindi si ottiene
Prr (ax + by + c)senw
+ /a2s + b" - 2ab cosw
ove ~+ e il segno di c.
Queste espressioni di Pr hanno valori positivi o negativi, secondoche il punto P e l'origine si trovano dalla stessa banda della r o
da bande opposte; perocchb sulla retta n si era fissato come verso
positivo quello che va dall'origine verso r. Si vede che la distanza
di un punto P da una retta r e il primo membro, cambiato di segno,
dell'equazione normale di r, nel quale si sostituiscano le coordinate
di P.
(*) La condizione perche il punto P stia sulla retta r e Pr -- 0, cioe xcosa +
ycos - p = 0. Si ottiene cosi un'altra dimostrazione dell'equazione normale della
retta. Questa dimostrazione (a differenza della prima) vale anche nel caso che la
retta passi per l'origine.