Teoria analitica delle forme geometriche fondamentali. Lezioni date nella Regia università di Torino...

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Fa eccezione (come gia avvertimmo) il caso lab'c"] — 0, in cui le
tre rette r r' r" appartengono a un fascio. Allora la [1] non rappresenta che le rette del fascio.
Notazione abbreviata.
~ 41. Denotando con L M N... funzioni lineari di x e y, si
pub concisamente indicare con L - 0, M -0, N 0,.. le equazioni delle varie rette del piano, anzi le rette stesse. Questa notazione abbreviata, della quale il PLUCKER ha mostrato l'utilita (1828),
permette sovente di rendere piu spediti i calcoli e piu espressive
le formole. A tale scopo conferisce non poco il ricordare che, se
L = 0 e M O 0 sono due rette, XL + gM - 0 6 una retta del fascio
da esse determinato, X: g essendo un parametro (del quale ci e noto
il significato geometrico); e che, se L = 0, M= 0, N- 0 non
sono tre rette non di un fascio, l'equazione di ogni altra retta del
piano pu6 ricever la forma
XL 4- 1M + vN = 0.
Accenniamo alcune applicazioni della notazione abbreviata.
1~ E chiaro che XL + tM M- O e la retta che unisce il punto
(L = 0, M=0) al punto (XL + uM + v N, N = 0); e cosi pure
g -M+vN=0 unisce i punti (M=0, N=O), (XL-+{-gtM vN —O,
L 0); e XL + vN=- 0 unisce i punti (L= 0, N- 0), (XL+f gM
+vNV=0, M= 0).
E di qui apparisce il significato geometrico di X:,: v e v:
nella XL+ M- + vN 0.
2~ Inoltre XL - MM = 0, aIM - vN -= 0, vN - XL = 0 sono le
rette coniugate armoniche alle tre precedenti rispetto alle coppie
(L=0, M.0), (M-=0, N=-O), (N=:0, L-O); e siccome una
delle ultime tre equazioni e conseguenza delle altre due (infatti
sommandole si ha 0 0); cosi queste tre rette concorrono in un
punto, individuato dalle equazioni XL — =M = vN. Onde il teorema:
Se dei tre punti in cui una retta seca i lati di un triangolo si