Teoria analitica delle forme geometriche fondamentali. Lezioni date nella Regia università di Torino...

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Per quella retta del fascio che 6 parallela a una retta data
a"'x + ' y + c" = 0,
Xa + a'r b +,tb'
sarasara" b"
ovvero X(ab" - a"b) -- p(a'b" - a"b') = 0;
e per6 l'equazione della retta sara
ax +- by - c _ ax + b'y + c'
ab" - a"b C a'b" cab'
Se p p' p sono le ascisse dei punti A A' A" comuni alle r r' s e
all'asse delle x, la [1] d hX(ap" + c) +- t(a'p" +- c') = 0, onde
X a' p" -.-p' __ a' A'A"
-a a p" — p a AA"
Similmente, se un'altra retta s' del fascio corrisponde al rapporto
kr a' A'A"'
X': 'I e seca I'asse delle x in A"', sara - -; e quindi
p.'A a AM"' e quindi
deduciamo
_. r AA" A-'"l
'- ' A'" A'" (A'A" A"')- (rr'ss').
Dunque: il doppio rapporto, che con due rette fisse r r' del fascio
fanno due rette qualunque dello stesso, e dato dal rapporto dei valori di: X corrispondenti a queste due rette. - In particolare: a
due valori opposti di I: X corrispondono due rette armoniche con
r e r'.
I1 principio qui invocato (dovuto a LAME) e di grande utilith, e
si estende a luoghi qualunque. Se infatti f= 0 f' _ 0 sono le equazioni di due luoghi, Xf + pf' = 0 e l'equazione di un luogo, il quale
certo passa per tutti i punti comuni a' due dati. Or se questi sono
dello stesso grado, si pu6 dimostrare che Xf-{- + f': O, al variare
di X:, rappresenta tutti gli oo luoghi di quel grado, che hanno
gli stessi punti comuni che f= 0 e f' 0 (fascio, serie semplice,
gruppo binomio di curve); la quale circostanza molto agevola lo
studio di tali sistemi di curve.
~ 40. Combinando linearmente le equazioni di tre rette r r' r"