Teoria analitica delle forme geometriche fondamentali. Lezioni date nella Regia università di Torino...

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II modulo della sostituzione XAt' - X'y vale + 1 ovvero -1. A seconda di questi
due casi, si pub (chiamando a un angolo conveniente) dare alla sostituzione la forma [3']
o la [3"].
Es. 6. Se (p cp) e (p' p') sono le coordinate polari di due punti, il quadrato della
distanza fra essi b p" + p - 2pp'cos(p - qp').
Es. 7. (xa + y2)2 - a2(x - y') si pub, introducendo coordinate polari, trasformare
in p2(p2 - a2cos2cp).
Equazioni di luoghi geometrici.
Punti determinati da equazioni.
~ 34. Poniamo una equazione fra le due coordinate variabili x y
di un punto del piano; e supponiamo che, per ogni valore reale di
una delle due variabili compreso entro certi limiti, questa equazione
determini uno o piu valori reali dell'altra, e quindi uno o piu punti;
p. e. che ad ogni valore di x compreso in un certo intervallo corrispondano uno o piu valori di y. Se inoltre l'equazione data e tale
che y sia funzione continua di x nell'intervallo da x = a a x =- b
(compreso nell'intervallo precedente); allora a due valori di x fra
a e b, e la cui differenza tenda a zero, corrispondono due gruppi di
valori di y; valori che si possono accoppiare in modo che la differenza fra due omologhi tenda a zero, e quindi che la distanza dei
due punti corrispondenti tenda pure a zero. Pertanto, variando x
daa a b, otteniamo una o piu serie continue di punti; l'insieme
delle quali costituiri una o piu linee (rette o curve), che formeranno
il luogo dei punti aventi la proprieth (o soggetti alla condizione)
che le loro coordinate soddisfanno la equazione proposta. (Nei casi
piu comuni le equazioni che si presentano tra x e y hanno i caratteri suddetti; ma pub accadere che un'equazione non presenti quei
caratteri, e quindi che l'insieme dei punti che la soddisfanno non
presenti continuith).
Viceversa: se una proprieta e comune ai punti di una o pii linee
in un piano ed esclusiva per essi, queste linee formano il luogo
dei punti aventi quella propriety; e se la propriety pub esser tradotta in un'equazione fra le coordinate x y di uno qualunque dei
punti del luogo, questa si dirh l'equazione del luogo, o equazione
che rappresenta analiticamente il luogo; mentre il luogo dei
punti soddisfacenti a una stessa equazione tra x e y si dice rappresentare geometricamente quell'equazione.