Teoria analitica delle forme geometriche fondamentali. Lezioni date nella Regia università di Torino...

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c) Se da ultimo si tratta di mutare l'origine e le direzioni degli
assi: allora basta assegnare le coordinate a e b di 0' rispetto a x
e y, pihi uno degli angoli a = xx', = x'y, e uno degli angoli
a' -=xyr, 3' — y'y; in tutto quattro quantita. Noi possiamo prima
dagli assi x y passare ad altri due paralleli ad essi e di origine 01,
e poi da questi altri passare ai due x' y' senza mutare piu l'origine.
E per6 avremo, per una trasformazione generale di coordinate cartesiane, le formole
[sen senY ' sen a sena'.
senw w senu w' sen u sen w
Questa e una sostituzione lineare, ma non omogenea.
E importante osservare che ogni funzione algebrica razionale intera di x e y si trasforma in una funzione algebrica razionale intera di X e Y dello stesso grado della prima. Infatti, i termini della
funzione di x e y sono della forma cxPyq, ove C b una costante e p q
sono interi positivi (zero incluso). Ora se in CXPyq si sostituiscono
a x e y le loro espressioni in X e Y, essendo queste di 1~ grado, il
prodotto si comporra di termini della forma CXrYs, e non potrh certamente la somma r +- s riescire superiore a p + q; dunque il grado
della funzione non pu6 crescere. Ma non pub neanche diminuire;
altrimenti, nel ritornare dai nuovi assi ai primitivi, il grado, per
ripristinarsi, dovrebbe crescere; il che e impossibile.
~ 33. Esamineremo il caso, che si voglia passare da coordinate
cartesiane a coordinate polari. L'ipotesi piu semplice e: che le coordinate cartesiane siano ortogonali, il polo sia l'origine stessa 0, e
l'asse polare sia la x. Allora, se OA = x, AP = y sono le coordinate cartesiane di P, e p OP, p = x,OP le coordinate polari
dello stesso punto P, il triangolo rettangolo OAP porge
OA = OP cosx,OP, AP = OP senx,OP,
ovvero
[6] x =pcosp, y - psen(p.
Questa sostituzione, che serve appunto al passaggio da coordinate
cartesiane a coordinate polari, cio6 trasforma ogni funzione di x e y
in una di p e p, 6 trascendente.
Si ha pure
[6'] P = /22 tgcp =- coscp-, sencp Y
x yxyos P+y+