Teoria analitica delle forme geometriche fondamentali. Lezioni date nella Regia università di Torino...

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scono la sostituzione che trasforma ogni funzione di x e y in una
funzione di X e Y. Si ha inversamente
X x -- a, Y =y - b.
b) Abbiamo mutato l'origine, ma non le direzioni degli assi.
Ora invece muteremo le direzioni degli assi, ma non l'origine; vale
a dire supporremo che i nuovi assi passino
per 0; sicche per fissarne la posizione basta I P
dare uno dei due angoli a - xx', j = x'y,
e uno dei due a' = xy', ' = y'y (essendo /
a + A- xy, a' + p' = xy). Se OA =x,
AP== y sono le, primitive coordinate di P,
e Ok' - X, 'P = Y le nuove, abbiamo, per
ogni projezione parallela, 0 A x
proj.OA. + proj. AP = proj. O' + proj. 'P;
onde, projettando normalmente sulla direzione normale a una
retta r, risulta
xcos(xr- + -) + Ycos yr+ - )
=Xcos(x'r+ r) + Ycos(y'r+ —
ovvero
x senxr 4- y senyr = Xsenx'r + Y sen y'r.
Se r si fa coincidere successivamente con y e con x, si ottiene
[2] x= sen x'y ysen sen xx senxy'
senxy senxy ' senxy sen xy
ovvero, ponendo xy =-w,
se[3] X - e3 ~sen X sen a sen a'
[3] c=X -+ Y Y X - - +Y
sen w sen uw sen sen w
Queste equazioni dhnno x e y espressi mediante X e Y, e costituiscono la sostituzione che trasforma ogni funzione di x e y in
una funzione di X e Y. Essa e di 1~ grado (lineare) in X e Y, ed 6
anche omogenea.