Teoria analitica delle forme geometriche fondamentali. Lezioni date nella Regia università di Torino...

- 67 -
del piano, la somma PAB + PBC +-... + PLA e costante, e si pub definire come
area del poligono, anche se questo b concavo.
Es. 4. L'area del poligono di vertici (xi y), (x 2),..., (x,y,), divisa per
'sen w,
(xY2 - X2yO) +- (X2Y3 - X3y2) +.. + (nXY -- xyn)
Es. 5. Per due terne di punti in un piano PP1P, e QQiQ2, si ha (v. Es. 1 e 3
~ 30)
PP,.QQ, cos(PP1, Q,) PP,.QQ, cos(PP, QQ2)
16.PPiP2.QQlQ= 4
PP2,.QQ cos(PP2 QQi) PPS.QQ2 cos(PP2, QQ2)
0 1 1 1.1 PQ2 PQi2 PQ2
1 P1iq P1Q i Pi2Q
1 P2,Q PaQW P2,Q
In particolare: 16 volte il quadrato dell'area del triangolo di lati a b c vale
0 1 1 1
1 0 a2' b2
- 1=a -- a4 - b4- + 2aC bW + 2a+c2 + 2bMc2
1 ac 0 c
1 bV c2 0
= (a + b + c) (- a + b + c) (a - b + c) (a + b - c).
Es. 6. Per due gruppi di cinque punti in un piano PP... P4 e Q Qi.. 4,
PQ PQ,.*. PQ42
P1q PQi2 PQ4 =;
P4Q2 P4q2.. rP4Q42
giacche indicando con (x y), (xi yi)... (x4 Y4) e (x' y'), (x1 y'1),... (x4 Y'4) le cooridinate di quei punti rispetto ad assi cartesiani ortogonali, questo determinante e il
prodotto per orizzontali delle due matrici
x2 +-y 1 x y 1 x2 +y'2 -_2x' -2y'
xi + yi2 1 x1i Yi x' + y'2 -2xi -2y'i
4 + y4 1 X4 Y4 1 X49 + y' -2 4 -2y'4
In particolare (facendo andare all'infinito in direzioni determinate P4 e Q4) si ha