Teoria analitica delle forme geometriche fondamentali. Lezioni date nella Regia università di Torino...

65 -
le perpendicolari CD C'D' condotte da C e C, alla AB (altezze dei
triangoli) sono nella stessa direzione o in direzioni opposte.
Queste osservazioni mostrano che, nell'applicare il teorema < il
numero che misura l'area di un triangolo B la meti del prodotto
dei numeri che misurano un lato e l'altezza corrispondente >, si
pu6 tener conto del segno con cui compajono i numeri che misurano ciascun lato e l'altezza corrispondente.
Siano A B C i vertici di un triangolo, e a b c le rette dei lati BC
CA AB, sulle quali intenderemo assegnate ad arbitrio le direzioni
positive; supporremo pure assegnato nel piano un verso positivo
per gli angoli, affinche siano determinati i segni degli angoli delle
direzioni positive di quelle rette. Se CD 6 perpendicolare a AB,
si avra, in valore assoluto,
ABC =AB. CD;
ma nel triangolo rettangolo ADC 6 CD - AC seneb; dunque, sempre
in valore assoluto, sari
ABC = AB. C seneb.
Se ci atteniamo alla convenzione fatta dianzi, questa eguaglianza
sussiste anche avuto riguardo ai segni, quando i segmenti AB AC
sono positivi sulle rette c b. Nb cessa di sussistere quando uno di
questi segmenti o entrambi divengano negativi; poiche l'inversione
della direzione positiva su c fa mutar di segno AB e seneb, ma non
il prodotto; e cosi via.
Ora riferiamo i punti del piano a due assi cartesiani, e siano
P(x y), P1(x y1), P,(xa y2) i vertici di un triangolo. Se rr' indicano
le rette dei lati PP, PP2, abbiamo
PPP -- PP1.PP sen rr';
ma, chiamando a 3 e a' P' gli angoli di r e r' cogli assi coordinati,
si ha dalla [9]-~ 30
1 sen a sen
sen rr' - --
senuw sena' sen r'
e dalle [6]-~ 30
sen — ), sen
sen (y y), sen - (yx --- ),)
senar (2-y), sen' -sen(x x);
E. D'OVIDIO - Forme geometriche fondamentali. 5