Teoria analitica delle forme geometriche fondamentali. Lezioni date nella Regia università di Torino...

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Area di un triangolo.
~ 31. Sia dato in un piano un triangolo di vertici A B C. Un osservatore eretto sul piano da una data banda di esso pu6 percorrere
il perimetro del triangolo procedendo in due versi opposti; cioe:
andando da A in B, da B in C e da C in A, ovvero andando da A
in C, da C in B e da B in A. E evidente che nel primo caso il triangolo rimarr' o sempre a destra o sempre a sinistra dell'osservatore,
e nel secondo caso rimarrh sempre dalla parte opposta. Conveniamo,
poiche ci sari utile, di assumere come positivo o come negativo il
numero che misura l'area del triangolo, secondochU il perimetro e
percorso dall'osservatore in un verso o nell'altro. Se indichiamo con
ABC questo numero quando il perimetro e percorso nel verso ABC, facendo tutte le permutazioni dei vertici A B C abbiamo
ABC _ BCA - CAB - - BAC - ACB - - CBA.
Rispetto a un altro osservatore, eretto sul piano della stessa banda
del precedente e in un punto interno al triangolo, il movimento di
un punto che percorra il perimetro del triangolo apparirh procedente verso destra o verso sinistra secondoche il perimetro e percorso in un verso o nell'opposto; e precisamente, secondoch1 rispetto
al primo osservatore il triangolo restava a destra o a sinistra.
Che se il secondo osservatore e eretto in un vertice del triangolo,
a lui il lato opposto apparira percorso rispettivamente verso destra
o verso sinistra, e quindi l'angolo fra le due direzioni (lati) che
da quel vertice vanno agli altri due vertici apparira descritto rispettivamente con una rotazione verso destra o verso sinistra. Noi
converremo di dare all'area lo stesso segno che compete all'angolo
suddetto.
Dalla deflnizione segue che due triangoli ABC AB'C', aventi un
vertice A comune e i lati opposti BC B'C' sulla stessa retta, sono
per lo stesso verso o per versi opposti secondoche BC e B'C' sono
nella stessa direzione o in direzioni opposte. E due triangoli ABC
ABC', con un lato AB comune, sono per lo stesso verso o per versi
opposti secondochU i vertici non comuni C C' sono dalla stessa
banda della retta AB o da bande opposte, vale a dire secondoche