Teoria analitica delle forme geometriche fondamentali. Lezioni date nella Regia università di Torino...

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rette (distinte o no) sia il baricentro delle projezioni di P1 P2... co' pesi me mn 2..
Allora lo stesso avverra per le projezioni secondo e sopra ogni altra retta.
Se poi Q e un punto del piano, e sulle rette QPi QPP2... QP si portano segmenti
proporzionali a m1.QP1, m2.qP2,..., - (n1 + m2 +2...).QP, con segmenti equipollenti ad essi si pub chiudere un poligono.
Es. 6. Le coordinate baricentriche di un punto nel piano sono proporzionali alle
distanze del punto dai lati del triangolo dei tre punti di riferimento, moltiplicate
rispettivamente per le lunghezze dei lati stessi o pei seni degli angoli opposti, ossia
sono proporzionali alle aree dei triangoli aventi per un vertice il punto che si considera e per lati opposti rispettivamente i tre lati del triangolo di riferimento. (Quanto
ai segni di queste distanze ed aree, si veda il ~ 31).
Relazioni fra angoli e distanze.
~ 30. Sia r una retta, P(x y) e P'(x' y') due suoi punti, p PP'
il numero che misura la loro distanza, a - xr e P = ry i numeri
che misurano gli angoli delle direzioni positive degli assi coordinati con quella di r, w = xy il numero che misura l'angolo delle
direzioni positive degli assi. Se P e P' si
projettano sull'asse delle x secondo l'asse
delle y in A e A,, essendo x e xr le ascisse
di A e A', sari Ak' x' - x. E se Pe P'
si projettano sull'asse delle y secondo
l'asse delle x in B e B', sara BB — = y' - y.
Se C 6 il punto comune alle AP B'P', sara
P' A' = X - x, PC B -y' -y. 0\ A A
Applicando al triangolo PP'C le relazioni [2]-~ 19 (ovvero projettando normalmente sui due assi e su r,
ed eguagliando la somma delle projezioni di PC e CP' a quella di
PP'), si ha
[1] (' - x) - (y- y) cos = p cos a,
[2] (X - x) cos j + -(y' - y) p cos P,
[3] (x' - x) cos a - (y' - y) cos = p.
Applicando la [3]-~ 19 (oppure sostituendo nella [3] le espressioni di cosa e cosp ricavate dalle [1] e [2]), si ha poi
[4] p -- (x' - x)2 + (y' - y) +- 2 (x' - x) (y' - y) cos w,
relazione che da la distanza di due punti espressa nelle loro coordinate.