Teoria analitica delle forme geometriche fondamentali. Lezioni date nella Regia università di Torino...

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ed e ii punto comune alle mediane del triangolo dei tre punti; e
cosi via.
Nel caso di tre punti P1 P1 P3 non di una stessa punteggiata, si
pu6 provare che ogni punto P del piano B baricentro dei tre punti
dati, quando ad essi siano applicati tre pesi convenienti. Ci6 emerge
dall'eseguire in ordine inverso la costruzione del baricentro; del
resto, se x y sono le coordinate di P, e si stabiliscono le equazioni
_ mIX + m 2X2 + m133 _ mzy, + qm2Y2 + M3
m1 + m2 + Mn3 x m2 + m22 + m3
queste liberate da' denominatori riescono lineari omogenee nelle tre
quantith incognite m1 m2 m3, e determinano i loro mutui rapporti.
Fissati adunque i tre punti P~ Pa Ps del piano, ogni altro punto
e determinato dai valori corrispondenti delle quantith ml mi m3,, o
meglio, dei rapporti di due di esse alla terza: e viceversa, dato il
punto, sono determinati questi rapporti. Perci6 possiamo assumere
questi due rapporti come coordinate di P, e possiamo anche chiamare i tre numeri ml m^ mn3 coordinate omogenee di P, e precisamente coordinate baricentriche.
Le equazioni scritte dianzi legano queste coordinate alle cartesiane x y, e permettono di passare dall'una all'altra specie di coordinate.
ESERCIZIO 1. Dimostrare il teorema di Mlenelao: < la condizione necessaria e sufficiente, perche tre punti A' B' C', posti sui lati BC CA AB di un triangolo ABC,
siano in linea retta, e
BA' CB' QAC
AC 'B'A C'B -
Es. 2. Applicando la nozione del baricentro, dimostrare il teorema di Ceva: < la
condizione necessaria e sufficiente, perche (usando le stesse denominazioni dell'es. prec.)
le rette AA' BB' CC' passino per uno stesso punto, e
BA' CB' AC'
A'C B'A C'B -
Es. 3. Con lo stesso principio dimostrare che le tre bisettrici degli angoli interni
di un triangolo concorrono in un punto. Lo stesso per due bisettrici di angoli esterni
e una di angolo interno. Lo stesso per le tre altezze.
Es. 4. I punti medii delle diagonali di un quadrilatero completo (v. ~ 41) sono
in linea tetta.
Es. 5. Nel piano, perche un punto P sia il baricentro di piu punti P1 P2... co'
pesi m1 m2..., basta che la projezione di P secondo due direzioni diverse sopra due