Teoria analitica delle forme geometriche fondamentali. Lezioni date nella Regia università di Torino...

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E facile vedere che alle convenzioni gia fatte intorno ai punti
all'infinito conviene aggiungere quest'altra: tutti i punti all'infinito dello spazio stanno in un piano. Infatti, siccome due piani
qualunque dello spazio hanno comune una retta, cosi le loro rette
all'infinito avranno comune il punto all'infinito di questa retta;
quindi tutte le rette all'infinito si tagliano mutuamente (nei vari
punti all'infinito), e stanno perci6 nel piano determinato da due qualunque di esse. Dunque veramente le rette e i punti all'infinito
dello spazio stanno tutti in un piano, detto piano all'infinito (*).
Projezione mediante piani.
Doppio rapporto di quattro piani.
~ 23. Un fascio di piani e secato da una retta in una punteggiata, e da un piano in un fascio di rette: diremo che il fascio di
piani projetta dall'asse la punteggiata 'e il fascio di rette. Piu
generalmente: se L l N... sono dei punti qualunque dello spazio
e s e lasse di un fascio di piani, i piani st siM sN... secano una
retta qualunque r' nei punti I/ M' N..., detti projezioni di L M i1...
su r' da s. Mentre un punto percorre il segmento Lil, la sua projezione percorre il segmento L'L' projezione di LM, e cosi via. Assegnata su r' la direzione positiva, si ha il teorema: Con qualunque
linea, sia retta sia poligonale, si vada da un punto a un altro,
le projezioni di queste linee su una stessa retta e da una stessa
retta sono eguali. In particolare: la projezione di un poligono e
nulla.
(+), bene ripetere che queste cose riguardanti punti e rette all'infinito non sono
teoremi, ma solo convenzioni, fatte collo scopo di generalizzare le proposizioni geometriche e rimuovere le eccezioni che queste presenterebbero. E lo scopo a cosi importante, che giustifica pienamente l'introduzione di questi concetti; i quali, se si
intendessero altrimenti che come pure convenzioni, potrebbero sembrare assurdi.
La nozione del punto all'infinito di una retta e della retta all'infinito di un piano
rimontano a Desargues (Brodillon, project etc. 1639). Quella del piano all'infinito
nello spazio e dovuta a Poncelet (Traite des proprietes projectives, 1822).

E. D'OVIDIo - Forme geometriche, fondamentali.

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