Teoria analitica delle forme geometriche fondamentali. Lezioni date nella Regia università di Torino...

- 44

adiacente, il rapporto B - 1. I1 rapporto seneb si pu6 dunque assumere
come coordinata della retta c del fascio riferita a due rette fisse
a b del fascio. (Scegliendo per rette fisse o e la sua normale, si
ricade in tgoc come coordinata di c).
Allo stesso risultato si pu6 giungere indipendentemente dalla considerazione di una punteggiata. R gih chiaro che, data la retta c,
sen aC
il rapporto sen sara pure dato. Inversamente: supponiamo che sia
dato questo rapporto e valga r; allora
sen ac
senCb = r, ovvero rsen(ab - ac) = senac,
rsenabcosac - rcosabsen ac - senac,
rsenab = (r cosab 1) tgac,
ossia
r sen ab
[3] tgae =+
rcos ab -- I;
ed analogamente si troverebbe tgcb -senab
cos ab + r
Quindi, dato r, e determinata tgac (oppure tgeb), e in conseguenza
anche la retta c.
Abbiamo per la [1] o per la [2]:
(A AC AD senac senad
(ABCD- BC: D -senbe: senbd
Questo risultato e indipendente dalla posizione di r e dipende solo
dagli angoli fra a b cd. Dunque possiamo enunciare il seguente
teorema, che trovasi gia in PAPPO: quattro rette di un fascio sono
secate da una retta qualunque in punti, il cui doppio rapporto
rimane costante mentre questa retta muta posizione.
Esso si definisce per doppio rapporto (o rapporto anarmonico)
delle quattro rette del fascio, e si rappresenta con (abed); sicche:
en a sen senad
(abed) = —.-: -~.
s(abed)-senbe senbd
Quattro rette di un fascio forniscono 24 doppi rapporti, che si riducono a soli 6 distinti, fra' quali passano le stesse relazioni esposte
pei doppi rapporti di quattro punti.