Teoria analitica delle forme geometriche fondamentali. Lezioni date nella Regia università di Torino...

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ovvero
[5] BC: CA: AB =sen be: sen ca: sen ab.
In tutte queste relazioni si pu6 supporre che le direzioni positive
di a b c siano scelte in modo che i segmenti BC CA AB siano positivi; sicche be ca ab saranno gli angoli esterni del triangolo, ed
avranno i seni eguali a quelli degli angoli interni e i coseni eguali
e di segno contrario. Allora le [3] e [5] si potranno enunciare cosi:
il quadratao di un lato di un triangolo qualunque e eguale
alla somma dei quadrati degli altri due lati, meno il doppio prodotto di questi due lati pel coseno dell'angolo compreso fra essi;
i lati di un triangolo sono proporzionali ai seni degli angoli
opposti.
~ 20. Dalle formole del ~ precedente si possono trarre varie relazioni importanti tra le funzioni goniometriche di certi angoli.
Anzitutto le [2] essendo lineari'omogenee in BC CA AB, e verificandosi per valori non tutti nulli di queste, dovra essere
1 cosab cosac
[6] cosba 1 cosbe -0:
cosca coscb 1
relazione fra gli angoli che tre rette qualunque di un piano fanno
a due a due, e che si pu6 anche scrivere:
1 - cos2 b - cos2 ca - cos ab - 2cos bc cos ca cos ab -- 0
ovvero
[7] sen2 ab = cos2ac + cos bc - 2 cosac cosbe cos ab.
Se poi nelle [1] e [4] sostituiamo (il che B lecito) a BC CA AB le
quantith proporzionali senbe senca senab, abbiamo
[8] cosra senbe -+ cosrb senca + cosre senab 0,
[9] senra senbe + senrb senca +- senre senab = 0.
Queste due relazioni legano gli angoli di quattro rette qualunque
a b c r del piano; le quali rette si possono anche supporre passanti
per un punto, poiche gli angoli non si alterano se alle rette si sostituiscono delle loro parallele.
In particolare: facendo coincidere r con c, la [8] diviene
cos ca sen be - cos cb sen ca + senab = 0,