Teoria analitica delle forme geometriche fondamentali. Lezioni date nella Regia università di Torino...

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stessa retta e determinata dai due punti uniti e dal doppio rapporto
costante che con questi fanno due punti corrispondenti qualunque;
purche per6 quei due punti uniti non coincidano, cioe quel doppio
rapporto non valga 1, vale a dire purch6 non sia
(b + c)2 - 4 ad -- 0.
La corrispondenza omografica e reciproca, vale a dire che ai
punti ' B'... considerati come appartenenti alla prima punteggiata
corrispondono AB... nella seconda, quando (AA'UV)= (A'AUV) e
quindi _= - 1.
Se (AA'UV) 1, allora (supposti, per la ragione dianzi detta, U
e V distinti) dovra A coincidere con A'; onde due punti corrispondenti qualunque coincideranno, e le due punteggiate saranno
identiche.
Se invece (AA'UV) — 1, le coppie Al' BB'.. sono tutte armoniche rispetto a U e V; e noi diremo con DESARGUES che esse costituiscono una involuzione (di 2~ ordine o quadratica).
I punti doppJ U V dell'involuzione possono essere B U i' M V A
reali o immaginari.
Questo caso particolare dell'omografia, cio6 l'involuzione B - -.. A
di due punteggiate sovrapposte, e molto importante. Per esso i due punti limiti J I' coincidono
in un punto 3, detto centro dell'involuzione; e si ha (~ 12);MA. MA' =- MB. MB' -... U2 = m2,
sicchU M 1 il punto medio di UV.
La condizione d'involuzione e manifestamente che la [1] non si
alteri scambiando x con y, ossia 6 b c; sicche l'equazione della
involuzione e
axy + b(x + y) + d = 0.
Viceversa: se
Ax' + Bx - C = 0
B l'equazione di due punti di una data retta, su questa esistono
infiniti sistemi di due punteggiate in corrispondenza omografica,
per cui quelli sono i due punti uniti; e l'equazione di una qua