Teoria analitica delle forme geometriche fondamentali. Lezioni date nella Regia università di Torino...

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Punteggiate omografiche su una retta.
Involuzione.
~ 13. Supponiamo ora che le due punteggiate abbiano per sostegno una stessa retta, e siano riferite a una stessa origine. Allora
sussistono tutte le propriety dianzi esposte, ma ne compajono pure
delle nuove; ad esempio si pu6 cercare se vi sono punti' che coincidano coi loro corrispondenti.
Per un tal punto dev'essere y x, e per6 la [1] diviene
ax2 + (b + c) x + d = 0.
Quest'equazione di 2~ grado porge per x due valori, e mostra che:
per due punteggiate omografiche sulla stessa retta esistono due
punti (reali e distinti, o reali e coincidenti, o immaginari coniugati), i quali hanno per corrispondenti se stessi.
Questi punti si dicono uniti, doppi, tautologi, fuochi, ecc.
Siano U V questi due punti: avremo dal teorema del ~ 12
(ABUV) - (A'B'UV),
onde segue
AU AV BU BV
-lu A'l B'U B'V '
ossia
(A'UV) - (BB'UV);
e per6: in due punteggiate omografiche sulla stessa retta e costante il doppio rapporto di due punti corrispondenti qualunque
coi due punti uniti (reali o immaginari).
Se x' x" sono le ascisse dei punti uniti, questo doppio rapporto
costante e
C
JU a ax' - c c-b + / (b -+ c)2 - 4ad
(; 00 UV) - r - --- ax"- + c --
J(J v) x a"_ + c-b- V (b-c)-4ad
a

Viceversa: ogni corrispondenza omografica tra i punti di una