Teoria analitica delle forme geometriche fondamentali. Lezioni date nella Regia università di Torino...

- 24 -

e queste equazioni individuano i rapporti di tre delle quantith
a b c d alla rimanente.
Ad evitar calcoli, osserviamo che queste tre equazioni con la [11
sono omogenee e lineari in a b c d, e devono coesistere per valori
non tutti nulli di queste quantita; quindi la condizione
xy x y 1
xmY1 w1 y1 1
[2] = 0,
xaY2 Xa2 Ya 1
X3y3 XI3 Y3 1
che (sviluppata secondo la prima orizzontale) e la equazione della
corrispondenza.
Essa si pub anche considerare come la condizione perche quattro
punti dati dell'una punteggiata abbiano per corrispondenti quattro
punti dati dell'altra, in una corrispondenza rappresentabile con una
equazione bilineare.
~ 12. Due punteggiate legate da un'equazione bilineare [1] presentano un'importante proprieta: cioe che il doppio rapporto di
quattro punti qualunque dell'una e uguale al doppio rapporto dei
quattro punti loro corrispondenti nell'altra. Infatti, se x x' x" r"'
sono le ascisse di A B C D, e y y' y" y'I le ascisse dei punti corrispondenti A' B' C' D', si ha
(ABCD) = ( x ) X (A-'B'D') -(y y, )( Y );
(c'x ) - c) (ccx''-c) (BD (y ' - y) (y' - y y")
ora
bx _ c b x bx" +- d (ad- bc)(x- x")
ax -+ - c a" + c (ax + c) (ax" + c)
y _ - (ad- be) (x' - x"')
yI- fff - ecc,
(ax' + c) (ax ^'c ecc
e per6 sostituendo nella espressione di (A'B'C'D') e riducendo, si
ritrova (ABBCI).
Viceversa: dati tre punti ABC di una punteggiata, e scelti
come corrispondenti ad essi in un'altra punteggiata tre punti
arbitrari A'B' C'; se a ciascun punto D dell'una si fa corrispondere netl'altra quel punto D' che fa il doppio rapporto (A'B'C'D')
= (ABCD); questa corrispondenza sard rappresentabile con una
equazione bilineare fra le ascisse di due punti corrispondenti, e