Teoria analitica delle forme geometriche fondamentali. Lezioni date nella Regia università di Torino...

-21 -di distanze, doppio rapporto, ecc. La distanza di due punti immaginari sara definita dalla formola x' - x, e sara in generale immagiuaria, in casi particolari reale; il rapporto delle distanze di un punto
x -x
da altri due sar& definito da x" —; il doppio rapporto di quattro
y ll' x — f _'
punti da x-_ x' tx, ecc.
I1 punto medio fra' due punti determinati dalla equazione quadratica ax- + bx + c =O sara sempre reale, anche se questi sono
immaginarl; poiche l'ascissa del punto medio e x' x2 ossia
2 o 2a'
che e sempre reale. Ed b pure reale il prodotto delle distanze dei due
punti da un punto reale qualunque della retta, p. e., il prodotto delle
loro ascisse; poich~ si ha xcrx, -, che e reale anche se i due
a
punti sono immaginarl.
b
Notiamo che: se c = 0 si ha x, x = - —, e uno dei due
punti e l'origine; se b = 0, x =- = - —, e i due punti
sono simmetrici rispetto all'origine (anche se immaginarl); se
b = 0 e c = 0, x, = x, = 0, e i due punti coincidono con l'origine.
Se a tende a zero, x, cresce indefinitamente in valor assoluto,
mentre x, tende a - C come limite; onde per a =0 un punto va
all'infinito e l'altro no. Se anche b va a zero, anche l'altro punto
va all'infinito, e per6 coincide col primo. Ecc., ecc.
In generale: se si ha un'equazione in x, algebrica di grado qualunque od anche trascendente; allora scelta su una retta l'origine e
la direzione positiva e considerata x come ascissa, ogni radice
reale dell'equazione individua sulla retta un punto reale, ed ogni
radice immaginaria un punto immaginario; sicche sulla retta si
avra un gruppo discreto di punti, che rappresenterh geometricamente quell'equazione ed avra per rappresentazione analitica la
equazione stessa.
ESERCIZIO 1. Applicare le cose esposte al caso che le x siano coordinate baricentriche o projettive.
Es. 2. Se ax + b - O, a' x b' -- 0 sono le equazioni di due punti della retta,
1'equazione di un altro punto qualunque della retta potra scriversi
x (a x + b)+ ((a'x + b') 0,