Teoria analitica delle forme geometriche fondamentali. Lezioni date nella Regia università di Torino...

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(ABCD) pu6 scriversi
x - x' - x'" (x - x") (x' - x'1)
x'- X" / - x" vvero (x - X"') (X'- X") '
Questa espressione pu6 bene chiamarsi doppio rapporto o rapporto
anarmonico dei quattro numeri x x' x" x"', e indicarsi con
(x x' x" "'). ]E chiaro che quattro numeri daranno allora 24 doppt
rapporti, che si riducono a tre coi loro inversi, e che sono legati
dalle stesse relazioni che quelli di quattro punti.
Fissati in una retta tre punti A B C, ogni altro punto D della
retta fa con essi in un ordine assegnato un doppio rapporto affatto
determinato. Cosi: se D cade in A, o in B, o in C, o all'infinito,
AC
(ABCD) diviene risp. ~ oo, ~ 0, 11 B. Viceversa: fissati i tre
punti A B C, ad ogni valore assegnato del doppio rapporto (ABCD)
corrisponde una posizione di D; poiche, dati A B C e dato (ABCD), 6
AD
determinato il rapporto DR; od anche perche, uguagliando la frazione (c x x" x' "') a un numero dato, si ha un'equazione di 1~ grado
in x"', e quindi un valore di x"'. Lo stesso vale per gli altri doppi
rapporti dei punti A B C D. Potremmo dunque assumere come coordinate dei punti della retta i doppi rapporti che essi determinano
con tre punti fissi della retta in un ordine assegnato.
BD AD BD
Scelgasi come coordinata (ABCD), ossia - C AC I1 numero
(positivo o negativo) b quello che misura la distanza BD riferita
AD
alla BC come unith, e,C e il numero che misura la distanza AD
riferita alla AC come unith; (ABCD) e il rapporto di questi due numeri. Diremo projettiva questa coordinata, per ragioni che spiegheremo in seguito. I punti A e B hanno per coordinate co e 0, e
si dicono fondamentali; il punto C ha per coordinata 1, e si dice
punto unitd.
Se supponiamo che A sia il punto all'infinito della retta; allora
BD
(ABCD) diviene BC e non e che l'ascissa del punto D rispetto all'origine B quando si prenda BC come unith lineare. Dunque: l'ascissa
di un punto B non 6 che il doppio rapporto del punto origine e del
punto all'infinito col punto da determinarsi e col punto a distanza
1 dall'origine.