Teoria analitica delle forme geometriche fondamentali. Lezioni date nella Regia università di Torino...

-17 -onde se uno dei sei doppi rapporti vale - 1, o 2, o., allora due
valgono 1, due 2 e due i; e i quattro punti (in un certo ordine) formano un gruppo armonico. T1 doppio rapporto nel caso
dell'armonia acquista il valore particolare - 1, o 2, o -; e perci6
in generale si suole anche chiamarlo rapporto anarmonico (denominazione introdotta dallo CHASLES nel suo importantissimo Apergu
historique, 1837, e poi usata dai geometri francesi e da molti italiani e inglesi).
I sei rapporti anarmonici sono in generale diseguali. Infatti: sup1
ponendo p —, onde p- 1, p =- 1, ricadiamo nei due casi
ora trattati; cosi pure supponendo p = 1- p, onde p =-; ovvero supponendo p= P onde p (p 2)= 0, e quindi p 0
1
oppure p = 2. Se fosse p -p, onde
P, I -01 1 V2-3
P - P + —1 = O, p — 2
sarebbe pure p =p ~; e dei sei rapporti anarmonici tre varrebP
bero e li altri tre. Ma essendo questi valori
immaginari, non esistono quattro punti reali soddisfacenti alla supposta condizione.
Se D va allontanandosi all'infinito sulla retta nella direzione positiva o negativa, il fratto -D tende a 1, e per6 (ABCD) tende al
AC
limite B. Cib si esprime scrivendo
(BACco) - C.
Dunque: il doppio rapporto di quattro punti, di cui uno all'infinito,
si ottiene dall'espressione generale del doppio rapporto cancellando
i due fattori in cui figura il punto all'infinito.
~ 9. Se x x' x" x"' sono le ascisse di quattro punti A B C D
riferiti a un'origine 0, la formola che esprime il doppio rapporto

E. D'OVIDI - Forme geometriche fondamentali.