Teoria analitica delle forme geometriche fondamentali. Lezioni date nella Regia università di Torino...

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II doppio rapporto di quattro punti dipende dal loro ordine. Ma,
sebbene le permutazioni di quattro punti siano 24, i doppl rapporti
che ad esse corrispondono non sono tutti differenti. Infatti 1' espressione AD BC non si altera se si scambiano contemporaneamente
due punti e gli altri due, cio6 A con B e C con D, ovvero I con C
e B con B, ovvero A con D e B con C; onde
(ABCD) = (BADC) = (CDAB) = (DCBA);
ossia: un doppio rapporto di quattro punti non si altera se si
scambiano due punti fra loro e gli altri due fra loro.
Con uno di tali doppi scambl si pub portare in primo posto quel
punto che si vuole, p. e. A, senz'alterare il valore del doppio rapporto; e per6 siamo ridotti a considerare i seguenti sei doppi rapporti:
(ABCD), (ICDB), (ABBC), (ABDC), (ACBD), (ADCB).
Dal 1~ si deducono il 2~ e il 30 lasciando ferma la lettera A e
permutando circolarmente B C D; e dai primi tre si deducono gli
altri tre scambiandovi le due ultime lettere.
Tra questi sei doppi rapporti passano ancora delle relazioni. Infatti e evidente che
(ABCD).(ACBD) = 1,
ossia: due dopp rapporti differenti per l'ordine dei due ultimi
punti (odei due primi) danno per prodotto 1. Analogamente
(ACDB).(ACBD) = 1, (ADBC).(ABCB)= 1
Inoltre dalla (~ 3)
AB.CD + AC.DB + AD.BC 0
dividendo per - AD.BC si ha
AC.BD AB.CD
AD.BC + AD.CB 1

(ABCD) + (ACBD) = 1,