Teoria analitica delle forme geometriche fondamentali. Lezioni date nella Regia università di Torino...

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i 100. Le principali formole in coordinate cartesiane di punti e
pliickeriane di piani si estendono agevolmente a coordinate projettive, visto che la condizione perche un punto stia in un piano si
conserva lineare nelle coordinate del punto e in quelle del piano.
Per esempio: la condizione perche quattro punti (XiX2x3x4),
(Yiy2y3Y4), (zz2z3z,), (tt2t3t4) stiano in un piano, 6
[xiy2z-3t4] - O.
Questa B anche l'equazione del piano per tre punti dati (y1y1y3y4),
(zz3z4), (tzt2t3t4), se (xx2x3x4) varia.
Le coordinate di questo piano sono
[y2z3t4] -- [yz3t4], [y ~t], [y12t3];
e le coordinate di un punto qualunque del piano sono
ly1 + mz, + -- zt, ly2 -+ mz + nt2,
y3 + m33 -+ nt3, ly4 +- mz4 - nt.
Intendendo con x..., y1...,... coordinate di piani, queste formole
danno la condizione perch6 quattro piani passino per un punto
nonche l'equazione e le coordinate del punto comune a tre piani, ecc.
I1 piano all'infinito ha delle coordinate i i2 i3 proporzionali a
1 1 -1 1
A' -iA7' ~ tT Se ne deduce la condizione perch6 due piani
siano paralleli, ecc.
~ 101. Se x^x2x3,x e XXYX3X4S sono coordinate projettive di
punti o di piani, una sostituzione lineare qualunque
[1] Xi = ailx +- ai2X2 + ai3x3 + ai4x4 (i 1, 2, 3, 4),
il cui determinante = [a,,1 a2 a33a] non sia nullo, e suscettiva
delle varie interpretazioni seguenti (cui si giunge con lo stesso
procedimento del ~ 96):
Possono xw... e X... essere le coordinate di uno stesso punto
(o piano) riferito a due tetraedri distinti. Allora per le coordinate
ui... e U,... di uno stesso piano (o punto) riferito ai due tetraedri
si ha la sostituzione

[2] ui -= al U1 + a2i U2 + a3i U3 + ai U4.