Teoria analitica delle forme geometriche fondamentali. Lezioni date nella Regia università di Torino...

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stesso dei punti A1A2A3A4; onde P non sarebbe individuato da essi.
Invece P 6 individuato dai piani di tre fasci i cui assi siano in un
piano, come AiA2 A2A3 A3A1. Scelte in ciascun fascio coordinate
projettive, possiamo trovare quattro numeri x2 w2 x3 x4 tali che (*)
x1: x4= AA3(AA4,BP), x2: x4:=A3A1(A2A4BP), x3: x4 -AlA2(A34BP),
e definirli come coordinate ornogenee projettive del punto P.
Indicando con ao a2 a3 a4 i piani A2A3A4 A3A4A1 AA41A, A1A2A3, si ha
Pal Pa4 Pa. Pa,4 PL. Paa
14 Bai Ba 4 B Ba 3 Ba3 4' B Ba4;
vale a dire che x, x2 x3 x4 sono eguali o proporzionali ai rapporti
Pal Pa, Pa3 Pa4
di distanze
dBa1' Ba2' Aa3' Ba4'
E si ha pure
i1: x= A3A4(A,1ABP), x2: x3- A1A4(A2A3BP), X3: x,-= A,.4(A3A1BP).
Pei punti di a1 si ha x, -- 0; ecc. Pei punti di A1A2 si ha 3 0
e, - 0; ecc. Per A, si ha x,-O0, 3- 0, x, =0 e x, arbitrario; ecc. Per B si ha x, x2 -- X3 - xc4.
I punti A, A A3, e i piani a a2 a3 a4 si dicono fondamenrtali, e B
punto unita.
Se B e il centro della sfera iscritta nel tetraedro A1A2A3A,4, le
coordinate sono proporzionali alle distanze di P dalle facce a, a2
a3 a4, e si dicono anche coordinate quadriplanari o tetrametriche.
Se B 6 il centro delle medie distanze de' punti A, A2 A3 A, le coordinate projettive si riducono alle baricentriche (~ 63). Poiche, dette
Bi2 P12 le projezioni di B P da A3A4 su A,A,, e cosi via, risulta B,1
medio fra A, e A., ecc.; onde x,: xC4 (A14B14P14) - A4P14: PAII,
e cosi via; e pero x, x2 x3 x4 sono veramente le coordinate baricentriche di P riferito a A1A2A34. Esse sono proporzionali ai volumi
dei tetraedri PA2A3A4, — PA1A3A4, PA1AAA4, -PA1A2 A, e diconsi
perci6 anche coordinate tetraedrali.
(*) Se- A B... sono punti nello spazio, AB(CDEF) denota il doppio rapporto dei
quattro piani ABC ABD ABE ABF.
Analogamente per dei piani a P...