Teoria analitica delle forme geometriche fondamentali. Lezioni date nella Regia università di Torino...

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dovra trasformarsi in UX, + U2X2 + UX3 a meno di un fattore;
ma si ha dalle [1]
UIx + ux,2 + U3X3
-(a1 U+bl U2+c, U3)x,+(a, U,+b, U2+c, (,)x,+(a.3 DL+b3 U,+c, U3)3;
dunque potremo assumere
U,= a,U,+,U2 + CU3,
[3] 2 = a2 U + b2 U2 + 02 U3,
u3 a3, b3U2+ c3U3,
sostituzione lineare per la trasformazione delle coordinate delle rette.
Quindi segue
AU1 A1u + A2u +- A-3u3,
[4] A U2 = Bu,+ B2U2 + B3u3,
A U =c C1ui + C2u + C3U3.
E chiaro che (aI b c1), (a2 b,2 c), (a3 b3 c3) sono le coordinate dei
vertici del 1~ triangolo rispetto al 20 sistema, e (A1 A2 A3), (B1 B2 B3),
(C C C2 C) quelle de' vertici del 20 triangolo rispetto al 1~ sistema.
Va notato che nulla vieta supporre nelle precedenti sostituzioni
che x, x x3, XX,-X3 siano coordinate di una stessa retta di un
dato piano riferita a due trilateri diversi, e che uI u u3, U1 U2 U3
siano coordinate di uno stesso punto del dato piano riferito a quei
due trilateri.
La sostituzione lineare [1 contiene nove coefficienti arbitrari; ma
il suo significato geometrico e determinato quando son dati i rapporti di otto coefficienti al rimanente.
Essa b suscettiva di altre importanti interpretazioni geometriche.
Se infatti si suppone che x x c x3 e X1 X Xs siano le coordinate
projettive di due punti in due piani punteggiati (distinti o sovrapposti), e facile vedere che allora la sostituzione [11 stabilisce una
corrispondenza omografica fra i due piani (cfr. ~ 46) (*).
(*) Percio le proprieta projettive delle figure si possono definire, sia come quelle
che non dipendono dal sistema di riferimento, sia come quelle che si conservano facendo una trasformazione omografica delle figure stesse. E poiche la [1] e una trasformazione lineare generale, si vede pure che (da un certo punto di vista) la geometria
projettiva coincide coll'algebra delle trasformazioni lineari; concetto fecondo, a cui
son dovuti molti progressi fatti in questi ultimi tempi dalla geometria e dall'algebra.