Teoria analitica delle forme geometriche fondamentali. Lezioni date nella Regia università di Torino...

-191 -punto e lineare omogenea nelle coordinate omogenee projettive
della retta, sussiste anche nel caso particolare delle coordinate
cartesiane di punti e plickeriane di rette, quando le coordinate si
denotino come rapporti di due numeri a un terzo. Questa analogia
e cagione, che le principali formole da noi esposte relativamente
alle coordinate cartesiane di punti e plickeriane di rette, si estendano con leggerissime modificazioni alle coordinate projettive di
punti e rette. La conformith e meno appariscente in quelle formole che si riferiscono a relazioni metriche, ma spicca in quelle
che si riferiscono a relazioni projettive. Valgano alcuni esempt;
nei quali supporremo, come si suol fare, che il punto unita e la
retta unita si siano scelti in modo, che la condizione perche il
punto (xi x3 x3) cada sulla retta (u, u2 u3) sia u, X-u2 x2+-3 x3 O.
La condizione perche tre punti (xxx3), (Y2YOy3), (zszz3) siano in
una retta 6
X1 X2 23
[wxy2Z3] = y1 2 Y31 0.
zi Z2 Z3
Questa e anche l'equazione della retta per due punti dati (y1y2Y3)
(z1z2z3), se (xIx2x3) varia.
Le coordinate di questa retta sono dunque
Y2 Y3 Y 3 Yi Yi
Z2 Z3 Z3 ZI Z2 Zo2
cioe i determinanti della matrice
Y1 Y2 Y3
z, z2, z,3
E le coordinate di un punto qualunque della retta sono
(lyI + mz1, ty- + mz2, ly3 + mz3);
dove m: I varia col punto stesso, essendo proporzionale al rapporto
delle distanze di questo dai punti (y y y23), (z 22 Z3).