Teoria analitica delle forme geometriche fondamentali. Lezioni date nella Regia università di Torino...

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Avremo quindi
- k x2 U2: f3 3 U 3 = (AA31CB,).(A2A3BP,).(A1,3RC,)- (AAB3R,1P),
e analogamente
- 1 xi u1: 73 x3 U3 - (X1B3R1P2);
onde
- (h1 xi u1 + -12 x2 u2): k3 3 u- = (A2A3-RiLP) +- (A1A3R0P2).
Ora se P sta su r, e solo allora, projettando da P su a1 si ha
(AA3RP,) = (P1A3R1,A2) = (A2,RA3P,),
onde
(A2A3RiP1) + (AA3RP,2) (A2A3RiP,) - (A21,P1) = 1 (~ 7);
dunque sarh
1 x uti +- 2 X2 U2 -2 + X3 U3 0
la condizione perch6 il punto P stia sulla retta r.
Essa e lineare e omogenea nelle x, x, x, ed e lineare omogenea
nelle u1 u2 u.
Data r, cioe dati i rapporti di u2 uU 3, questa e l'equazione della
retta r come punteggiata. Dato P, cio6 dati i rapporti di x3 x2 x3,
essa e l'equazione del punto P come centro di un fascio.
Se C, e 02 si suppongono armonici con B1 e B2 rispetto a A2A3 e
A3Xi, sara h, - 2=: f 3, e quindi sara anche 3 armonico di B3 rispetto a AA2: allora il punto B pu6 dirsi armonico con la retta c,
e l'ultima equazione diverra
u1 X1 + u9 X2 + U3 x3 = 0.
Se inoltre a3 ~ la retta all'infinito e A3B _- A3B2= 1, onde
A3C- = A3 =: - 1, allora x1: x3, X2: X3 sono (come gih osservammo) le coordinate cartesiane x y, e u,: u,, U2: U3 sono le
coordinate pluckeriane u v; e per6 l'equazione diviene
ux + vy + 1 = O
come al ~ 49.
~ 96. II fatto: che la condizione perche un punto stia su una
retta 6 lineare omogenea nelle coordinate omogenee projettive del