Teoria analitica delle forme geometriche fondamentali. Lezioni date nella Regia università di Torino...

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Per ogni retta del fascio A. si ha u =- 0, ecc. Per a, si ha
u, = 0, u -- e u, arbitrario; ecc. Per c si ha u, = u 2= u3.
a1 a2 a3 e A, A2 A3 si chiamano rette e punti fondamentali, c retta
unita.
Se per c si sceglie la retta all'infinito del piano, u., u u83 diventano uguali o proporzionali alle distanze di r da A. A2 A3, e si chiamano coordinate tripunte o trimetriche di r.
Supponendo che a3 sia la retta all'infinito del piano, e indicando
coln C R1... i punti ca, ra~..., si ha
u2: us - a, (a2a3cr) = A3C1: A3R1, ut: u3 = a (aa3cr) = A 3C: A13B;
e quindi, se si prende A3C. -A3C - -1,:ui:3 e u2: u3 divengono - 1: 3R2 e - 1: A3R1, cioe (~ 49) le coordinate pliickeriane
della r rispetto agli assi a1 a2.
3o Per definire un sistema di coordinate omogenee projettive
in una stella di rette o di piani, basta ripetere quanto si e esposto
pel piano punteggiato o rigato, sostituendo ai punti ed alle rette
del piano le rette e i piani della stella.
Applicazioni.
~ 95. Consideriarno ora un piano punteggiato e un piano rigato
sovrapposti, anzi riferiti a uno stesso triangolo 1A2A3 o trilatero
a a2a3.
Conservando le indicazioni precedenti, si ha pei teoremi di CEVA
e di MENELAO (~ 29, es. 1 e 2)
A2B A3B2 B3 AB 1 A2C, ASC2 A1Cs _
B1A ' B.2A, B3A C2A C3A CA 2
onde dividendo
(A2A3CB).(A 3A1 C22).(A A.2C3B) = - 1;
e per6 potremo determinare tre numeri k1 k2 ft tali che
2: 23 - - (A2AClB1), 23: - - (A3A2B2), hi: 12 = - (l B).