Teoria analitica delle forme geometriche fondamentali. Lezioni date nella Regia università di Torino...

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circolo iscritto nel triangolo A1A2A,; nel qual caso le coordinate
x, xs x sono proporzionali alle distanze del punto P dai lati del
triangolo.
Se per B si sceglie il punto d'intersezione delle mediane del
triangolo A1Ai3; allora dette B, P le projezioni di B P da A, su a1,
si ha x2: x3 = A1 (A2iBP) - (A2A3B1P) = A3P1: PA2, e cosi via;
dunque x, x2 xs divengono le coordinate baricentriche (~ 29). E
facile vedere che ease sono eguali o proporzionali ai prodotti delle
distanze di P dai lati del triangolo per le lunghezze dei lati medesimi, od anche alle aree dei triangoli PA2,3 PA3AX PA1A2; e pero
diconsi anche coordinate triangolari.
Anche il sistema cartesiano B caso particolare del proiettivo.
Poiche, se A1 A2 vanno all'infinito sulle a2 a1, i fasci corrispondenti
sono sistemi di rette parallele alle a2 a1, e si ha
Xs': X3 -- (A A3BP,) A3P A3B, x2: 3 - (A2As3B1P) =A3P1: A3B,;
sicche, se si sceglie A3B =- A3Ba = 1, i rapporti x,1: xs, x: x non
sono che le ovvie coordinate cartesiane di P rispetto alle rette
a2 a1 come assi.
2~ In un piano -rigato siano date quattro rette a, a, a3 c, di
cui tre qualunque non di un fascio. Si hanno allora tre punteggiate su a, a2 a3, di ciascuna delle quali sono dati tre punti. Una
retta r del piano ha un punto in ciascuna delle tre punteggiate,
e due di essi la individuano. Adoperando coordinate projettive per
quelle punteggiate, definiamo per coordinate omogenee projettive
della retta r tre numeri u, u2 us tall che sia
ut': u= a2(aa3cr), U2: u3 a(a.^a3er).
Chiamando A1 A 2A3 i punti a a. a3a1 aa2, si ha
A r A3r A3r Ar
Ua: = a (a a3cr) A A,: u a (a3acr)= _ 1;
onde u. u2 us sono eguali o proporzionali ai rapporti di distanze
Ajr A2r A3r
Arc Asr A3r Ed e pure
Aic ' Ac Ase'
Ajr A2r
a3 (aacr) A= e 1._:
Aic A2C1 1 2' '%s