Teoria analitica delle forme geometriche fondamentali. Lezioni date nella Regia università di Torino...

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Forme di 2" specie.
~ 94. 1~ In un piano punteggiato siano A1 A2 A3 B quattro punti,
di cui tre qualunque non in una retta. Sono allora determinati tre
fasci di rette co' centri in A1 A2 A3; e in ciascun fascio son date tre
rette, cio6 quelle che uniscono A1 a A2 A3 B, e cosi via. Per un
punto qualunque P del piano passano tre rette, una per fascio, e
bastano due a individuare P. Adoprando pei fasci coordinate omogenee proiettive, possiamo trovare tre numeri x1 x2 x3 tali che (*)
x,: A3 = A, (AIA3BP), x2: X3 =- A (A2A3BP),
e quindi definire x1 x2 xs come coordinate omogenee projettive del
punto P.
Indicando con aa a3 le rette A2 l A3&1 AiA2, si ha facilmente
__ __ - Pa3 *Pal: = A, (P-P -,,.) 2 X:, ' = A, (A3A.BP) = Ba3 Ba;
onde xc x2 xs3 sono eguali o proporzionali ai tre rapporti di diPal Pa2 Pas pure
stanze E si ha pure
A3 (AA2BBP) P=a: a2 =: X
Pei punti di a1 si ha xw- 0; e cosi via. Pel punto A1 si ha
2 - 0, 3 = -0, x, arbitrario (ma diverso da zero); e cosi via. Per
B si ha x1.= x.
A1 Ai A3 e a a. a3 si chiamano punti e rette fondamentali, B punto
unita.
Le presenti coordinate sogliono anche chiamarsi trilineari o
trimetriche, particolarmente quando per B si scelga il centro del
(*) Se A B C D E sono punti di un piano, la notazione A(BCDE) sta pel doppio
rapporto delle rette AB AC AD AE.
Analogamente per cinque rette a b c d e.