Teoria analitica delle forme geometriche fondamentali. Lezioni date nella Regia università di Torino...

- 186 -

porto determinato da P con A1 A2 B in un ordine assegnato (~ 9),
p. es. (A1A2BP); e per6, chiamando x, x2 due numeri tali che
/(1A T~\ AO2P AIP
xI: X= (AlBP) -- A2 AP
A1B A1B'
si possono definire xi x2 come coordinate omogenee projettive del
punto P. Esse sono eguali o proporzionali a' rapporti A2P Ai
A2B ' A1B'
cioe alle misure dei segmenti A2P e A1P riferiti risp. a AIB e A.B.
Pel punto A2 si ha xw: x = 0, cioe x1 = 0 e x, arbitrario (ma
non zero). Per A2 si ha x,: x, oo, cioe x -2 0 e x1 arbitrario
(ma non zero). Per B si ha x,: x2 =- 1, x1 =- x
A1 A2 diconsi punti fondamentali e B punto unita. Tutti tre diconsi punti di riferimento.
Se B e medio fra A, e A2, x, xW divengono le coordinate baricentriche (~ 5).
Se A, va all'infinito, xW xW =- A2P: A2B diviene l'ascissa di P rispetto a A2 come origine e AB come unith lineare.
Il doppio rapporto di quattro punti (xx,), (yy,), (z1z2), (tlt2)
(x212 - x2z1) (Ylt - Y2tl)
(xt2 - xAt) (YiZ2 - y21)
20 In un fascio di rette siano a, a. b tre rette date; e per
coordinate omogenee projettive di una retta qualunque r assumiamo due numeri x1 x2 tali che
senar. senar
-xi: G = (a,abr) =: (~ 21).
senasb senab ( 21)
E facile vedere che x, x2 sono eguali o proporzionali ai numeri
che misurano le distanze di un punto qualunque di r da a, e a,
riferite. risp. alle distanze di un punto di b da a, e a1.
Per a2 x1: xW = 0, per a1 x1: x2 = oo, per b x1: x - 1;
a, e a2 diconsi rette fondamentali, b retta unitd.
Se b biseca l'angolo aa2, Wx: x2 = senaar: senra1, e xW1x divengono le analoghe alle coordinate baricentriche della punteggiata.
3~ Pel fascio' di piani si ripeta quanto si e detto pel fascio di
rette, cambiando la parola retta in piano.