Teoria analitica delle forme geometriche fondamentali. Lezioni date nella Regia università di Torino...

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e pei piani (loc. cit.). Questo scienziato assunse, ad esempio, come coordinate omogenee di un punto nel piano i valori che i primi membri delle equazioni di tre rette
(non di un fascio) del piano riferite a due assi cartesiani prendono quando vi si sostituiscono le coordinate di quel punto riferito a questi stessi assi. E chiaro che tali
coordinate differiscono per fattori costanti dalle distanze fra il punto e le tre rette,
e quindi (~ 94) coincidono con un sistema generale di coordinate projettive avente
le tre rette considerate per rette fondamentali.
In seguito 1'Hesse mostro come, senza cessare in sostanza di usare le coordinate
cartesiane di punti, si potesse introdurre omogeneita nelle formole, rappresentando
queste coordinate come i rapporti di due o di tre numeri ad un altro. Con questo
metodo ingegnoso e semplicissimo, l'Hesse raggiunse quasi tutti i vantaggi che provengono dall'uso di coordinate omogenee; anzi fu il primo a mettere in piena luce
l'eleganza che acquistano i calcoli fatti mediante queste, e l'appoggio mutuo che possono rendersi la geometria projettiva e l'algebra. Le sue ricerche contengono cosi il
germe di quella nuova scienza che lega tra loro queste due, cioi la teoria degli
invarianti o algebra delle trasformazioni lineari.
Dopo il Pluccker, altri scienziati ritornarono sulle coordinate projettive generali, e
ne fecero applicazioni: citeremo soltanto Chasles e Clebsch. Oggidi esse costituiscono
il sistema piu usato nelle ricerche analitiche di geometria projettiva. La teoria che
noi ne abbiamo esposta, basata sui doppi rapporti, a dovuta sovratutto al Fiedler
(Vierteljahrsschrift der Naturforsch. Gesellschaft zu Zilrich, Bd. 15, oppure
Darstellende Geometrie ~~ 138-145), il quale ritornb sulla definizione geometrica delle
coordinate omogenee projettive della retta nello spazio introdotte dal Cayley (come
gih dicemmo al ~ 85), studiandone anche la trasformazione.
Ma e da notare che gia il M6bius, sotto il titolo di calcolo baricentrico qbbreviato, aveva introdotto come coordinate di un punto (in una retta o in un piano o
nello spazio) i rapporti delle sue coordinate baricentriche a cquelle di un punto fisso;
i quali rapporti non sono che le coordinate projettive del punto (il punto fisso
essendo il punto unita). I1 M6bits aveva anche osservato che tali coordinate si
possono definire come doppi rapporti, ne aveva rilevata l'utilith per lo studio di quelle
proprieta che non si alterano per collineazioni, e ne aveva fatte applicazioni, mostrando di riconoscerne la grande importanza.
Nei vari trattati dell'Hesse i giovani studiosi potranno trovare molte applicazioni
facili ma notevoli della notazione abbreviata e delle coordinate omogenee. In questi
trattati, in quelli del Salmon, nelle < Trilinear Coordinates > del Ferrers, essi
potranno acquistare una conoscenza piui completa della teoria e delle applicazioni
delle coordinate omogenee.
Forme di 1i specie.
~ 93. 1~ In una retta punteggiata, dati tre punti A, A2 B, si pu6
assumere come coordinata di un punto qualunque P il doppio rap