Teoria analitica delle forme geometriche fondamentali. Lezioni date nella Regia università di Torino...

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abbiamo accennate le analoghe coordinate per le altre forme di
a, 2a, 3a specie (~~ 21, 24, 40, 53, 75). Inoltre per lo spazio rigato,
forma di 4a specie, abbiamo in due modi stabilito un sistema di
sei coordinate omogenee, ma legate da una relazione quadratica
omogenea (~~ 84, 85).
Del resto, senza uscire dal sistema cartesiano, ci e occorso di
esprimere le due coordinate cartesiane di un punto in un piano
mediante i rapporti di due numeri a un terzo (~ 51); sicche questi
tre numeri si possono assumere come coordinate omogenee del
punto. E ci 6 anche occorso di esprimere le tre coordinate cartesiane di un punto nello spazio come rapporti di tre numeri a un
quarto (~ 81); onde questi quattro numeri sono coordinate omogenee
del punto.
Del pari, le coordinate pliickeriane di una retta in un piano ci
si sono presentate come rapporti di due numeri a un terzo (~ 49).
e le coordinate pliickeriane di un piano nello spazio come rapporti
di tre numeri a un quarto (~ 80).
Aggiungasi che abbiamo introdotto la nozione di due o tre coordinate ornogenee di una direzione (~~ 49, 73), e quella di quattro
coordinate omogenee di una giacitura (~ 72).
Ora esporremo per le singole forme fondamentali un sistema di
coordinate omogenee, le quali comprendono come casi particolari
quelle gia incontrate, e si chiamano projettive.
Nei due secoli precedenti al nostro la geometria analitica, usando quasi esclusivamnente le coordinate cartesiane (e in talune ricerche le coordinate polari), aveva avuto
per principale scopo di applicare il grande concetto di Descartes a risolvere sempre
nuove questioni spettanti a tutti i rami della matematica pura el applicata. Fatta
eccezione per pochi scienziati, segnatamente per Lagrange, non si era badato ad introdurre eleganza, simmetria e, come conseguenza di questa, concisione nei calcoli.
Nella prima meta del nostro secolo invece il desicerio, anzi per qualche riguarclo la
necessita di acquistare ai ragionamenti ed ai calcoli della geometria analitica queste
doti, e nello stesso tempo lo sviluppo della geometria projettiva, condussero naturalmente all'introduzione delle coordinate omogenee.
I1 primo sistema di coordinate omogenee di punti nel piano e nello spazio fu il
sistema baricentrico dovuto a Mobius (Der barycentrische alccct, 1827). Quasi nello
stesso tempo la notazione abbreviata, introdotta anzitutto dal Bobillier (Annales de
Mathnematiques di Gergonne, t. XVIII, 1827) per le equazioni della retta nel piano e
del piano nello spazio, e poi ripresa ed estesa dal Plileler (Analytisch-geometrische
Entwickelhngen, 1828-31) mediante l'introduzione delle coordinate della retta e del
piano e dell'ecluazione del punto, conduceva il Pliclcer a altri sistemi di coordinate
omogenee, trimetriche nel piano e tetrametriche nello spazio, pei punti, per le rette