Teoria analitica delle forme geometriche fondamentali. Lezioni date nella Regia università di Torino...

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~ 87. Vogliasi determinare quello che il CAYIEY chiama momento
di due rette r r' ossia il prodotto del seno del loro angolo per la
loro distanza (contata sulla retta ro perpendicolare comune a rr').
Se P P2 e P3P4 sono due coppie di punti rispettivamente su r e
r', per un teorema di CHASLES (*) avremo in valore assoluto
Xi y, Z 1
x2 Y2 Z1 1
PiP2.P,3P.momrr' = 6PP P3P, senxyz. 2
3, y, Z3 1
X4 Y4 Z4 1
onde si deduce, scegliendo convenientemente i segni,
momrFr = senxyz (xi - X2)(Y3z4 - y4z3) +... + (Yz2 - y2z')(x - x4) +.
m/(~ — ) +... V(x3- ) +..
e quindi
iL' W+ mM + nN' + Ll' + Mm' +- Nn'
momrr' - senxyz /12 +... + 21mcosxy +...) (1' +... + 2'm' cosxy +...)
L'annullarsi del momento e la condizione perch6 r e r' siano in un
piano; e cosi ritroviamo la condizione gia ottenuta nel ~ prec.
La distanza fra due rette r r' vale momrr': senrr; e per6 potremo
assumere
st IL' + mMr + nN+ ' - LI' + Mm' + Nn'
/V(mn - m'n, ni' -n'l, Im' - I'm)
e in assi ortogonali
dist rr'_ + mM' +nN' LI'- Mm^ +-Nl
1/ m n]
t ml' n'
(*) Tirando P1Q QR equipollenti a P2P3 P3P4, si determina il prisma di. basi
P1QR P5P3P4; il quale (com'e noto) e triplo del tetraedro PiP2P3P4. Questo prisma
b meta del parallelepipedo che ha per base il parallelogrammo QP3PR e per altezza
la distanza fra P1 e il piano del parallelogrammo. Ora QP3P4R b misurato da
P1P2.P3P4senrr' (essendo QP3 equipollente a PiP2); e la distanza suddetta non e
che la distanza fra r e r'. Dunque (in valore assoluto)
6P1P2P3P4 = PiP2.P3P4 senrr' distrr' - PPY2. P3P4 mom rr'.