Teoria analitica delle forme geometriche fondamentali. Lezioni date nella Regia università di Torino...

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quindi sostituendo a xw -x2, y1 —Y, z z le quantita proporzionali I m n, a X3 - x4, 3 - Y4, z3 - z4 le proporzionali
1' m' n', otteniamo
(I m(, n)
\ l' m' n'!
cosrr' --
a(t m72 n).q)(1' m' n')
e in assi ortogonali
s' 4- + mn + nn'
cosrr' - /(. m2 + n2)(l + m'2 + _2)
Di qui si trae la condizione d'ortogonalita delle due rette r r'.
I1 seno dell'angolo di due rette r r' si ottiene facilmente, supponendo per poco che le due rette abbiano un punto comune P(x y z).
Infatti, se P1 e un altro punto di r e P, un altro punto di r', si
ha (~ 66)
PP,PP22 senrr' = 4(PPP2) =- ( [yzl,, [zxl], [xy1]);
ma
YI- Y z- - z
[yz1l] -,..,
y2-y z2-z
PPS= )(xI1-, Y1-y, Z1-z), PP2=(Cxa-x, y-, z2 —z);
quindi sostituendo a x, - x, y - y, z - z le proporzionali I m n,
a x2- x, y2-y, z -z le 1' m' n' si trova
se r __ (mi(nn' - m'n, q'' - n'l, Im' - I'm)
sen rr --
<O(lmn). O((l' M n')
Se le due rette r r' non s'incontrano, basterh sostituire ad esse
due loro parallele condotte da uno stesso punto; sicche e chiaro che
questa formola vale anche nel caso generale.
In assi ortogonali essa diventa
sen2rr - (m' - m'n)2 + (nl - n)2 +( (m' — 1'm)
(12 + m + n).('2 +m" M )2 + ')
I rm n 2
i' m' n'
(12 + m2 + n2) ('T +- m' t + n'1)