Teoria analitica delle forme geometriche fondamentali. Lezioni date nella Regia università di Torino...

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e da queste eliminando ad esempio (u,v - 2uv), si ha
(unw2 - Uzw1)(y1z2 - y2zJ) + (u - U2) (y - y2) = 0,
ossia
Ui - U2 - Wt2 -- W2U1
Yi22 - Y2i2 Yi - Y2
Confrontando questa relazione colle analoghe, che si potrebbero
ottenere con eliminazioni nello stesso modo, si ha immediatamente
i -U2 - v -- V2 w - W2
Y-2 -- y2ZI 2 - - Zi2XI Xy2-i-x2Yi
-VIV - 2Y1 __ Wt22- W2Ut __ qlV.2 -- Z 2V1
XI -- X2 - Y2 - Z2 '
le quali eguaglianze esprimono appunto che le coordinate di una
retta considerata come asse sono proporzionali alle coordinate (prese
in un certo ordine) della retta stessa considerata come raggio.
]E facile scorgere che e reale la retta per due punti (o in due
piani) immaginari, se le coordinate omologhe di questi sono complesse coniugate.
A. valori immaginari dei rapporti di cinque fra' sei numeri
I m n L M N al rimanente (con IL - mM - nN - 0) diremo che
corrisponde una retta immaginaria.
II1 primo ad usare il concetto di coordinate di una retta nello spazio fu ii
Cayley (1859), il quale si servi a tal fine di coordinate omogenee di punti e piani,
come si vedrh in seguito. Ma al Pliucker, che introdusse le coordinate della retta
definite come ora abbiam fatto, spetta il gran merito di esser partito da questo
concetto per fondare (1865) una nuova Geometria dello spazio, in cui la retta b (per.cos! dire) 1'elemento prirnordiale, da cui tutti gli altri enti geometrici derivano; in
altri termini, una Geometria dello spazio rigato. (Veggasi specialmente la Neue
Geometrie des Raumes del Plucker, pubblicata nel 1868).
Angolo, momento e distanza di due rette.
~ 86. Siano-1 I n L M N le coordinate di una retta r, e 1 m' n'
L' M' N' quelle di un'altra retta r'; vale a dire, indicando con