Teoria analitica delle forme geometriche fondamentali. Lezioni date nella Regia università di Torino...

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Per ogni coppia di punti P1P2 della retta r si ha dunque
x-2 Y__ 2 Y- Y2._ i — 2 Z Y — Z IX2 i XIY2 X2Y
I m n L - MA N
Per rette parallele, fu gih osservato che i rapporti delle I m n
sono rispettivamente eguali (~ 73). In altri termini: fra le sei coordinate omogenee di una retta r, le tre I m n sono le coordinate
omogenee della direzione della retta r.
~ 85. Una retta, considerata come sostegno di un fascio di piani,
prende il nome di asse, ed B individuata da due piani. Siano
u1 v1 w1 e U2 v2 w2 le coordinate pliuckeriane di due piani Trr rrT per
la retta r: allora i sei binomi
U1 - U, V1 - V2 W1 - W2, ViW2 -'V2W W1IU - W2U1, UV1 - U2Vicio6 i determinanti di 20 ordine estratti dalla matrice
U1 V1i W 1
U2 V2 W2 1
serbano rapporti costanti, mentre TTF e TT2 variano nel fascio che ha
per asse r; e son legati dalla relazione
(u —U2)(v1w2 —v2wl)-(v-v2)(w1u2-W2uI)+(wi —w2)(t1v2- t - ) 0.
Dati questi sei binomi, b determinata la retta (ad esempio: mediante
i due piani che la projettano parallelamente a due dei tre assi coordinati); cosicch6 i sei binoml si possono assumere come coordinate
omogenee della retta-asse r.
Anzi queste coordinate non differiscono in sostanza da quelle tests
definite per la retta-raggio. Infatti: se P1 P2 sono due punti della
retta r dei piani TT1 TT2, riferendo punti e piani agli stessi assi coordinati, si hanno le quattro equazioni
ux + v1y 1 + WZ1 + 1,= O, U2X1 + V2ji -+ W2z +- 1 = 0,
Uix2 + Viy2 +w w1z2 + 1 = 0, u2X2 -+ V22 y+ WZ2 -- 1 0.
Eliminando dalle prime due x, e dalle altre x, si ha
(u1v2 - U2Vi) y1 + (uiw2 - u2wI) zI +- (u - u2) - 0,
(uv2 - ut2l) Y2 + (u1w2 - U2W) 2 + (ul - U2) 0;