Teoria analitica delle forme geometriche fondamentali. Lezioni date nella Regia università di Torino...

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mutui rapporti dei detti binomi non si alterano, mentre i due
punti P4 P2 cambiano posizione sulla retta r.
Inoltre fra i sei binomi passa evidentemente la relazione quadratica e omogenea
(x1-x2)(yz -z-y21z)+(y -y,) (zix2-z2x1)-i-(z,-z2) (Xiy2-Xy) = 0.
Data una retta r, non sono determinati i due punti P1 P2 di essa;
ma sono individuati i mutui rapporti dei sei binomi formati con le
coordinate dei due punti. Anzi i rapporti di cinque binomi al rimanente non sono indipendenti fra loro; poich6 la relazione precedente (divisa pel quadrato di uno dei binomi) mostra come uno qualunque di tali rapporti si esprima in funzione degli altri quattro.
Viceversa: dati solamente i rapporti di quattro fra' sei binomi a
uno degli altri due, e noto il rapporto fra questi due. Ci6 non basta
a individuare le sei coordinate x, y1 z1 e x, y, z2; ma fra le infinite
coppie di punti, per cui i sei binomi hanno i rapporti che abbiam
supposto dati, possiamo individuarne una, composta di un punto
nel piano xz e un punto nel piano yz. Infatti per y, = 0 e x, -= 0
i sei binoml divengono
Xj1 — Y2, ZI - Z2, z M1Z y 2X1, X1J2;,
ora, se son dati i loro mutui rapporti, i rapporti del 6~ e 40 al 2~ individuano x1 e z,, e quindi un punto nel piano xz; e i rapporti del
6~ e 5~ al 1~ individuano y, e z2, e quindi un punto nel piano yz.
Conosciuti cosi due punti, 6 individuata la retta r per essi; e questa
retta contiene tutte le coppie di punti, per cui i sei binoml hanno
i rapporti assegnati.
Segue da queste premesse che, se un gruppo di sei numeri
rn n L M NV
soddisfa la condizione
IL - mM + nN = 0,
i rapporti di quattro di tali numeri a uno degli altri due si possono
assumere come coordinate di una certa retta r nello spazio, per la
quale quei numeri sono rispettivamente proporzionali ai sei binoml
considerati. Anzi nulla vieta di chiamare quei sei numeri le coordinate omogenee della retta-raggio r.