Teoria analitica delle forme geometriche fondamentali. Lezioni date nella Regia università di Torino...

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Due spazi reciproci di un terzo sono omografici tra loro.
Cerchiamo i punti (x y z) che appartengono ai piani corrispondenti, ovvero i piani (u' v' w') passanti pei punti corrispondenti.
Riferiti i due spazi a uno stesso sistema cartesiano, dovrh essere
per un tal punto e un tal piano
u'x +- v'y +- wz + 1 0;
ossia, applicando le [1] o le [1'],
[2] (alx +...) x - (ax +...) y + (a~x +-...) z + (ax +...) - 0,
[2'] (A,u' +...) u' + (Bu'+...)v' +(C,u+...)w'+ (D,u' +...)=0.
La [2] mostra che il luogo di quei punti e di 2~ grado; la [3] mostra che l'inviluppo di quei piani 6 di 2~ grado.
L'equazione [2] si riduce a 0 0 quando
a,- = c3 d- b, + a - ce - a3
d + a- + b3 = d2 - b = 3 + c = 0;
nel qual caso anche la [2'] si riduce a 0 = 0, e le [1], [1'] prendono
la forma
ny - wz - a, - nx - b m - ly - c
ax +by +cz' ax - by + cz' ax + by +cz'
cv' - bw' I Caw' - cZ - bu'- ab' -
u3 ' + mv + nw' W mz + nmv' - nw" l' + mv' + nw'
Allora ciascun punto sta nel piano corrispondente, e ciascun piano
passa pel punto corrispondente; ai punti di una retta corrispondono
i piani che li projettano dalla retta corrispondente, e ai punti di
questa i piani che li projettano da quella; ecc. ecc.
Questa particolare corrispondenza 6 molto notevole; poiche s'incontra, oltre che in geometria, anche in questioni importanti di cinematica e di statica. Essa fu scopeyta quasi simultaneamente dal
MOBIUS, che la chiam6 Nullsystem (Statik, 1837), e dallo CHASLES.
La corrispondenza in esame 6 involutoria; cioe tale, che ad un